$0 \le x < 2\pi$ 일 때, 방정식 $4\cos^2 x - 1 = 0$ 과 부등식 $\sin x \cos x < 0$ 을 동시에 만족시키는 모든 $x$ 의 값의 합은? [3점]
이 문항은 삼각방정식의 해를 구하고, 사분면별 삼각함수의 부호를 판별하는 능력을 종합적으로 평가합니다.
주어진 방정식의 상수항을 이항하고 양변을 4로 나누어 코사인에 대한 식으로 정리합니다.
양변에 제곱근을 취하면 $\cos x$ 가 가질 수 있는 값은 두 가지가 도출됩니다.
주어진 부등식 $\sin x \cos x < 0$ 을 분석합니다. 두 값의 곱이 음수이므로, $\sin x$ 와 $\cos x$ 의 부호는 서로 달라야 합니다. 이를 바탕으로 조건을 만족하는 사분면을 찾습니다.
따라서 우리가 찾는 각 $x$ 의 동경은 반드시 제2사분면 또는 제4사분면에 위치해야 합니다.
제한된 범위 $0 \le x < 2\pi$ 안에서, Step 1의 해와 Step 2의 사분면 조건을 동시에 적용하여 최종 해를 선별합니다.
경우 1 : $\cos x = \frac{1}{2}$ 인 경우
$\cos x$ 의 값이 양수이므로, 각 $x$ 는 제4사분면의 각이어야만 부등식 조건(제2 또는 제4사분면)을 만족합니다.
제1사분면에서 $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ 이므로, 제4사분면에 위치한 대칭각을 구합니다.
경우 2 : $\cos x = -\frac{1}{2}$ 인 경우
$\cos x$ 의 값이 음수이므로, 각 $x$ 는 제2사분면의 각이어야만 부등식 조건(제2 또는 제4사분면)을 만족합니다.
제1사분면의 기준각 $\frac{\pi}{3}$ 를 이용하여 제2사분면에 위치한 대칭각을 구합니다.
두 조건을 모두 통과한 유효한 해는 $x = \frac{5\pi}{3}$ 와 $x = \frac{2\pi}{3}$ 입니다. 문제에서 요구한 모든 해의 합을 구합니다.
학생들이 방정식 $4\cos^2 x - 1 = 0$ 을 풀면서 $\cos^2 x = \frac{1}{4}$ 까지 도출한 뒤, 가장 빈번하게 하는 실수는 $\cos x = \frac{1}{2}$ 인 경우만 고려하고 $\cos x = -\frac{1}{2}$ 인 경우를 완전히 누락하는 것입니다. 이로 인해 답을 유추하는 과정 전체가 축소되어 오답을 선택하게 됩니다.
수학적 교정 :
임의의 실수 $A$ 에 대하여 대수방정식 $X^2 = A \quad (A>0)$ 을 풀 때, 근은 항상 $X = \sqrt{A}$ 와 $X = -\sqrt{A}$ 두 개가 존재합니다.
삼각함수의 치역은 $-1 \le \cos x \le 1$ 이므로, 유도된 $\frac{1}{2}$ 과 $-\frac{1}{2}$ 모두 치역 안에 안전하게 포함되는 유효한 근입니다. 따라서 실근을 도출할 때는 항상 $\pm$ 기호를 명시적으로 적는 습관을 들여야 해를 놓치는 실수를 방지할 수 있습니다.
고등학교 교육과정에서 삼각함수는 좌표평면 위의 단위원(Unit Circle)을 이용하여 정의됩니다. 이를 통해 각 사분면에서의 부호를 논리적으로 유도할 수 있습니다.
좌표평면의 x축과 y축의 원점 $(0, 0)$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 단위원 $x^2 + y^2 = 1$ 을 설정합니다. x축의 양의 방향을 시초선으로 잡고, 동경(Radius Vector)이 이루는 일반각의 크기를 $\theta$ 라고 할 때, 동경과 단위원의 교점을 $P(x, y)$ 라고 정의합니다.
정의에 따라 $x = \cos \theta$, $y = \sin \theta$ 가 됩니다.
이 증명을 통해 $\sin x \cos x < 0$ 이라는 대수적 부등식이, 기하학적으로는 동경이 제2사분면 또는 제4사분면에 존재한다는 공간적 제약 조건과 완벽히 동치임을 알 수 있습니다.
단계별 기하학적 해석