이 문항은 고등학교 미적분 교과목의 핵심 내용인 부분적분법(Integration by Parts)을 이해하고, 이를 로그함수와 다항함수가 결합된 형태에 적용하여 정적분의 값을 계산하는 능력을 평가합니다.
주어진 정적분의 피적분함수는 로그함수와 다항함수(분수 꼴)의 곱으로 이루어져 있습니다. 이처럼 성질이 다른 두 함수의 곱을 적분할 때는 주로 부분적분법을 사용합니다.
로다삼지 법칙 (LIATE rule) : 미분하기 쉬운 함수를 $u$, 적분하기 쉬운 함수를 $v'$ 로 설정합니다. 로그함수($\ln x - 1$)가 다항함수($x^{-2}$)보다 우선순위에 있으므로 다음과 같이 설정합니다.
설정한 $u$ 를 미분하여 $du$ 를 구하고, $v'$ 를 적분하여 $v$ 를 구합니다.
정적분의 부분적분 공식 $\int_{a}^{b} u \cdot v' dx = [u \cdot v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v \cdot du$ 에 구한 요소들을 대입합니다.
남은 적분항 $\int x^{-2} dx$ 를 마저 계산하여 식을 정리합니다.
정리된 부정적분 식에 위끝 $e^2$ 과 아래끝 $e$ 를 대입하여 최종 값을 도출합니다.
미적분 과정의 몫의 미분법을 완벽히 숙지한 학생이라면, 피적분함수의 형태를 보고 원함수를 직관적으로 떠올릴 수도 있습니다.
피적분함수 $\frac{\ln x - 1}{x^2}$ 는 위 결과의 부호를 바꾼 것이므로, 원함수(부정적분)가 바로 $-\frac{\ln x}{x}$ 임을 알 수 있습니다. 이를 통해 부분적분 과정을 생략하고 즉시 정적분 계산(Step 4)으로 넘어갈 수 있어 문제 풀이 시간을 단축할 수 있습니다.
$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ 라는 공식에 익숙해진 나머지, $\int \frac{1}{x^2} dx$ 를 계산할 때 실수로 $\ln(x^2)$ 나 $\ln|x^2|$ 등으로 잘못 적분하는 경우가 빈번합니다.
수학적 교정 :
유리수 지수 $n$ 에 대하여 적분 공식 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$ 을 명확히 적용해야 합니다. 분모에 있는 변수는 음수 지수로 변환하여 계산하는 것이 실수를 줄이는 방법입니다. $\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-1} = -x^{-1}$ 입니다.
$[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ 를 계산할 때, $F(a)$ 전체에 마이너스 부호가 적용되어야 하나, 항이 여러 개인 경우 괄호를 생략하여 뒤쪽 항의 부호를 틀리는 계산 실수가 잦습니다.
수학적 교정 :
수식이 길어질 때는 항상 $\left( \text{위끝 대입 결과} \right) - \left( \text{아래끝 대입 결과} \right)$ 형태로 명시적인 괄호를 사용하여 전개한 후, 마지막에 괄호를 풀면서 부호를 결정하는 습관을 들여야 합니다.
부분적분법은 근본적으로 미분의 곱의 미분법(Product Rule)을 역으로 적용한 것입니다. 미분과 적분의 관계를 보여주는 가장 아름다운 공식 중 하나입니다.
미분가능한 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 있을 때, 두 함수의 곱의 미분법은 다음과 같습니다.
양변을 $x$ 에 대하여 부정적분하면, 미분과 적분의 관계에 의해 좌변은 원래 함수로 돌아갑니다.
이 식에서 우리가 구하고자 하는 적분 형태인 $\int f(x)g'(x) dx$ 를 기준으로 식을 이항하여 정리합니다.
결과적으로, 직접 적분하기 어려운 $f(x)g'(x)$ 형태를, 상대적으로 계산이 용이한 $f'(x)g(x)$ 형태의 적분으로 변환하여 문제를 해결할 수 있게 해주는 강력한 도구입니다. 정적분의 경우 위끝과 아래끝만 각 항에 추가해주면 성립합니다.
정적분의 기하학적 의미 분석