이산확률분포와 표본평균의 성질 추론
숫자 1이 적혀 있는 공 10개, 숫자 2가 적혀 있는 공 20개, 숫자 3이 적혀 있는 공 30개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 10번 반복하여 확인한 10개의 수의 합을 확률변수 $Y$라 하자. 다음은 확률변수 $Y$의 평균 $E(Y)$와 분산 $V(Y)$를 구하는 과정이다.
주머니에 들어 있는 60개의 공을 모집단으로 하자.
이 모집단에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 이 공에 적혀 있는 수를 확률변수 $X$라 하면 $X$의 확률분포, 즉 모집단의 확률분포는 다음 표와 같다.
| $X$ | 1 | 2 | 3 | 합계 |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 |
따라서 모평균 $m$과 모분산 $\sigma^2$은
$m = E(X) = \frac{7}{3}$, $\sigma^2 = V(X) = $ (가)
이다. 모집단에서 크기가 10인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 $\overline{X}$라 하면
$E(\overline{X}) = \frac{7}{3}$, $V(\overline{X}) = $ (나)
이다. 주머니에서 $n$번째 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 $X_n$이라 하면
$Y = \sum_{n=1}^{10} X_n = 10\overline{X}$
이므로
$E(Y) = \frac{70}{3}$, $V(Y) = $ (다)
이다.
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, q, r$라 할 때, $p+q+r$의 값은? [4점]
이 문항은 이산확률변수의 분산을 구하는 기본 원리를 묻고, 모분산과 표본평균의 분산 사이의 관계 및 확률변수의 실수배에 대한 분산의 성질을 종합적으로 추론하는 능력을 평가합니다.
분산은 '제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀 값'으로 구할 수 있습니다. 즉, $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$ 입니다. 문제에서 $E(X) = \frac{7}{3}$ 이라고 주어졌으므로, 먼저 $E(X^2)$ 을 구해야 합니다.
이제 분산을 계산합니다.
따라서 (가)에 알맞은 수 $p$는 $p = \frac{5}{9}$ 입니다.
크기가 $n$인 표본을 임의추출했을 때, 표본평균 $\overline{X}$의 분산은 모분산을 표본의 크기로 나눈 값과 같습니다. 즉, $V(\overline{X}) = \frac{V(X)}{n}$ 입니다. 이 문제에서는 $10$번 반복하므로 표본의 크기 $n = 10$ 입니다.
따라서 (나)에 알맞은 수 $q$는 $q = \frac{1}{18}$ 입니다.
문제의 조건에서 10개의 수의 합 $Y$는 $Y = 10\overline{X}$ 로 표현됨을 알려주고 있습니다. 확률변수의 성질 $V(aX + b) = a^2 V(X)$ 에 의해 $Y$의 분산은 다음과 같이 계산됩니다.
따라서 (다)에 알맞은 수 $r$는 $r = \frac{50}{9}$ 입니다.
구한 $p, q, r$의 값을 모두 더하여 최종 정답을 도출합니다. 분모를 $18$로 통분하여 계산하는 것이 편리합니다.
따라서 정답은 ④번입니다.
학생들이 표본의 크기 $n$을 곱해야 할지 나누어야 할지 혼동하여 $V(\overline{X}) = n \cdot V(X)$ 로 잘못 계산하는 경우가 많습니다.
해결 : 표본평균은 여러 값들의 '평균'이므로, 개별 데이터보다 흩어짐(분산)이 줄어들게 됩니다. 따라서 표본의 크기 $n$으로 '나누어 주어야' 한다는 직관을 가지면 실수를 줄일 수 있습니다. ($V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$)
$Y = 10\overline{X}$ 일 때, $V(Y) = 10 \cdot V(\overline{X})$ 로 상수를 그대로 곱하는 치명적인 실수가 자주 발생합니다.
해결 : 분산은 편차의 '제곱'의 평균입니다. 확률변수에 $a$배를 하면 편차도 $a$배가 되므로, 이를 제곱하여 평균을 내면 분산은 $a^2$배가 됨을 명심해야 합니다. 즉, 계수는 반드시 제곱하여 밖으로 나옵니다.
문제 해결의 근간이 된 이론인 $V(aX + b) = a^2 V(X)$ 의 유도 과정을 기댓값의 성질을 이용하여 논리적으로 증명해 봅시다.
분산의 정의 $V(X) = E((X - m)^2)$ (여기서 $m = E(X)$)을 이용합니다.
결론적으로, 확률변수에 더해진 상수 $b$는 분포의 평행이동만 일으키므로 흩어진 정도인 분산에는 영향을 주지 않으며, 곱해진 상수 $a$는 제곱인 $a^2$이 되어 분산에 곱해짐을 확인할 수 있습니다.
■ $Y = 10\overline{X}$ (10회 추출의 합) 시뮬레이션
실제 문제의 상황처럼, 주머니에서 $1, 2, 3$을 확률에 맞게 꺼내어 $10$번 더한 값($Y$)을 구하는 과정을 모사합니다. 시행 횟수가 늘어날수록, 경험적 평균과 경험적 분산이 우리가 앞서 수식으로 계산한 **이론값(평균 : $\frac{70}{3}$, 분산 : $\frac{50}{9}$)**에 어떻게 수렴해 가는지(대수의 법칙) 직접 확인해 보세요!
X축 : 확률변수 Y (10 ~ 30) | Y축 : 발생 빈도