수능 기출 분석

가형 28번 / 나형 19번

조건을 만족하는 순열과 경우의 수 추론

Q [문제 원문]

숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6 중에서 중복을 허락하여 다섯 개를 다음 조건을 만족시키도록 선택한 후, 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 다섯 자리의 자연수의 개수를 구하시오. [4점]

(가) 각각의 홀수는 선택하지 않거나 한 번만 선택한다.

(나) 각각의 짝수는 선택하지 않거나 두 번만 선택한다.

① 420
② 435
③ 450
④ 465
⑤ 480

1 [출제의도]

이 문항은 주어진 조건을 분석하여 발생할 수 있는 경우를 체계적으로 분류하고, 조합과 같은 것이 있는 순열을 활용하여 경우의 수를 정확히 산출하는 능력을 평가합니다.

  • 제시된 규칙(홀수는 최대 1번, 짝수는 0번 또는 2번)에 따라 5개의 숫자를 구성하는 논리적 추론 능력
  • 조합(Combination)을 이용하여 대상 숫자를 선택하는 능력
  • 동일한 숫자가 포함된 나열에 대해 '같은 것이 있는 순열' 공식을 적용하는 능력

2 [상세 풀이]

Step 1

조건을 만족하는 홀수와 짝수의 개수 결정

선택할 수 있는 숫자는 홀수 집합 $\{1, 3, 5\}$ 와 짝수 집합 $\{2, 4, 6\}$ 입니다.

조건 (가)에 의해 선택되는 각각의 홀수의 개수는 0개 또는 1개입니다.
조건 (나)에 의해 선택되는 각각의 짝수의 개수는 0개 또는 2개입니다.

선택된 홀수의 종류의 개수를 $a$, 선택된 짝수의 종류의 개수를 $b$ 라고 합시다. 총 5자리의 자연수를 만들어야 하므로 숫자의 총 개수는 5개가 되어야 합니다. 이를 방정식으로 나타내면 다음과 같습니다.

$$ a \times 1 + b \times 2 = 5 $$ $$ (\text{단, } 0 \le a \le 3, \ 0 \le b \le 3 \text{ 인 정수}) $$

이 방정식을 만족하는 순서쌍 $(a, b)$ 는 두 가지 경우로 분류할 수 있습니다.

  • Case 1 : $a=1, b=2$ (홀수 1종류, 짝수 2종류 선택)
  • Case 2 : $a=3, b=1$ (홀수 3종류, 짝수 1종류 선택)
Step 2

Case 1 : 홀수 1종류, 짝수 2종류 선택 시

홀수 3개 $\{1, 3, 5\}$ 중 1종류를 선택하는 경우의 수는 $_{3}C_{1} = 3$ 입니다.
짝수 3개 $\{2, 4, 6\}$ 중 2종류를 선택하는 경우의 수는 $_{3}C_{2} = 3$ 입니다.

예를 들어, 홀수 1을 선택하고 짝수 2와 4를 선택했다면, 구성되는 5개의 숫자는 $\{1, 2, 2, 4, 4\}$ 가 됩니다. (짝수는 무조건 2번씩 선택되므로)

이제 이 5개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수를 구합니다. 2가 2개, 4가 2개 있으므로 '같은 것이 있는 순열' 공식을 적용합니다.

$$ \text{나열하는 경우의 수} = \frac{5!}{2! \times 2!} = \frac{120}{4} = 30 $$

따라서 Case 1의 전체 경우의 수는 다음과 같습니다.

$$ _{3}C_{1} \times _{3}C_{2} \times \frac{5!}{2! \times 2!} = 3 \times 3 \times 30 = 270 $$
Step 3

Case 2 : 홀수 3종류, 짝수 1종류 선택 시

홀수 3개 $\{1, 3, 5\}$ 중 3종류 모두 선택하는 경우의 수는 $_{3}C_{3} = 1$ 입니다.
짝수 3개 $\{2, 4, 6\}$ 중 1종류를 선택하는 경우의 수는 $_{3}C_{1} = 3$ 입니다.

예를 들어, 홀수 1, 3, 5를 선택하고 짝수 2를 선택했다면, 구성되는 5개의 숫자는 $\{1, 3, 5, 2, 2\}$ 가 됩니다.

이 5개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수를 구합니다. 2가 2개 있으므로 다시 '같은 것이 있는 순열' 공식을 적용합니다.

$$ \text{나열하는 경우의 수} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 $$

따라서 Case 2의 전체 경우의 수는 다음과 같습니다.

$$ _{3}C_{3} \times _{3}C_{1} \times \frac{5!}{2!} = 1 \times 3 \times 60 = 180 $$
Step 4

최종 정답 도출

Case 1과 Case 2는 동시에 일어날 수 없는 배반사건이므로, 합의 법칙에 의해 두 경우의 수를 더해줍니다.

$$ 270 + 180 = 450 $$

따라서 조건을 만족하는 모든 5자리 자연수의 개수는 450개이며, 정답은 ③번입니다.

3 [이론 매칭]

합의 법칙과 곱의 법칙 조합 (Combination) 같은 것이 있는 순열 사건의 분류

4 [실수 포인트 및 증명]

오류 분석 : 짝수를 구별 가능한 개체로 착각하는 실수

학생들이 자주 하는 실수 중 하나는, 조건 (나)에 의해 짝수가 2번 선택될 때 이 두 짝수를 서로 다른 것으로 착각하여 나열하는 경우입니다. 예를 들어 $\{1, 2, 2, 4, 4\}$ 를 나열할 때 일반적인 팩토리얼 $5! = 120$ 으로 계산해 버리는 오류입니다.

해결 및 수학적 증명 :

숫자 구성이 $\{1, 2_A, 2_B, 4_A, 4_B\}$ 처럼 2와 4에 꼬리표가 붙어 구별된다면 나열하는 경우의 수는 $5! = 120$ 가지입니다. 하지만 실제 자연수를 만들 때는 $2_A$ 와 $2_B$ 의 순서가 바뀌어도 완전히 동일한 숫자가 됩니다.
예 : $1 - 2_A - 4_A - 2_B - 4_B \implies 12424$
예 : $1 - 2_B - 4_A - 2_A - 4_B \implies 12424$
따라서 같은 짝수끼리 자리를 바꾸는 경우의 수인 $2!$ 만큼 중복이 발생하므로, 이를 나누어 주어야 합니다. 4 역시 마찬가지로 $2!$ 만큼 중복이 발생합니다. 결론적으로 정확한 나열의 수는 $\frac{5!}{2!2!} = 30$ 이 되어야 합니다.

5 [핵심 이론 증명] : 같은 것이 있는 순열

문제 해결의 핵심 도구인 '같은 것이 있는 순열' 공식의 논리적 유도 과정을 살펴봅니다.

[정리] $n$개 중에서 같은 것이 각각 $p$개, $q$개, $\cdots$, $r$개 있을 때, 이들을 모두 일렬로 나열하는 순열의 수는 다음과 같습니다. ($p+q+\cdots+r = n$)
$$ \frac{n!}{p! \times q! \times \cdots \times r!} $$
[조합을 이용한 유도 과정]
  • $n$개의 자리 중에서 같은 것 $p$개가 들어갈 $p$개의 자리를 선택하는 경우의 수는 $_{n}C_{p}$ 입니다.
  • 남은 $(n-p)$개의 자리 중에서 같은 것 $q$개가 들어갈 $q$개의 자리를 선택하는 경우의 수는 $_{n-p}C_{q}$ 입니다.
  • 이 과정을 반복하여 마지막 $r$개가 들어갈 자리를 선택하는 경우의 수는 $_{r}C_{r}$ 이 됩니다.
  • 곱의 법칙에 의해 전체 경우의 수를 구하면 다음과 같이 정리됩니다.
    $$ \begin{aligned} & _{n}C_{p} \times _{n-p}C_{q} \times \cdots \times _{r}C_{r} \\ &= \frac{n!}{p!(n-p)!} \times \frac{(n-p)!}{q!(n-p-q)!} \times \cdots \times 1 \\ &= \frac{n!}{p! \times q! \times \cdots \times r!} \end{aligned} $$
  • 위 식에서 분자와 분모에 연속적으로 존재하는 팩토리얼 항들이 약분되면서 최종 공식이 유도됨을 확인할 수 있습니다.

조건에 따른 숫자 구성 및 나열 시각화

■ 방정식 $a + 2b = 5$ 의 시각적 이해

아래 시뮬레이터는 문제 풀이의 두 가지 핵심 케이스(Case 1, Case 2)에 따라 숫자들이 어떻게 선택(조합)되고 배열(순열)되는지 그래픽으로 보여줍니다.

동일한 짝수 블록들이 배치될 때, 서로 자리를 바꾸어도 같은 경우로 취급되는 현상(같은 것이 있는 순열)을 이해하는 것이 핵심입니다.

버튼을 클릭하여 각 Case의 구성 방식을 확인하세요.