집합과 명제 - 명제의 충분조건과 진리집합
6. 실수 $x$에 대한 두 조건
$p : x = a,$
$q : 3x^2 - ax - 32 = 0$
에 대하여 $p$가 $q$이기 위한 충분조건이 되도록 하는 양수 $a$의 값은? [3점]
이 문항은 명제의 충분조건의 의미를 이해하고, 이를 두 조건의 진리집합 사이의 포함 관계로 연결하여 수학적으로 해결하는 능력을 평가합니다.
조건 $p$가 조건 $q$이기 위한 충분조건이라는 것은 명제 '$p$이면 $q$이다($p \rightarrow q$)'가 참임을 의미합니다. 조건 $p, q$의 진리집합을 각각 $P, Q$라 할 때, 이 명제가 참이 되기 위한 진리집합의 포함 관계는 다음과 같습니다.
문제에 주어진 조건 $p : x = a$ 로부터 진리집합 $P$는 원소가 $a$ 하나뿐인 집합임을 알 수 있습니다. 즉, $P = \{a\}$ 입니다.
$P \subset Q$ 이므로, 집합 $P$의 원소인 $a$는 반드시 집합 $Q$의 원소여야 합니다. 집합 $Q$는 조건 $q : 3x^2 - ax - 32 = 0$ 을 만족시키는 $x$들의 집합이므로, $x = a$는 이 이차방정식의 해가 됩니다. 따라서 $x$ 자리에 $a$를 대입하면 등식이 성립해야 합니다.
Step 2에서 도출한 방정식을 정리하여 $a$의 값을 구합니다.
$3a^2 - a^2 - 32 = 0$
$2a^2 - 32 = 0$
$2a^2 = 32$
$a^2 = 16$
제곱하여 $16$이 되는 실수 $a$는 $4$ 와 $-4$ 두 개가 존재합니다. 하지만 문제의 조건에서 양수 $a$의 값을 구하라고 하였으므로, 음수인 $-4$는 제외합니다.
따라서 조건을 만족하는 양수 $a$의 값은 $4$ 이며, 정답은 선택지 ④번입니다.
'$p$가 $q$이기 위한 충분조건'을 반대로 해석하여 $Q \subset P$ 로 생각하는 실수입니다. 이 경우 이차방정식의 두 근이 모두 $a$와 같아야 한다는 잘못된 결론에 도달하여 문제를 풀 수 없게 됩니다.
해결 : 문장의 주어에 집중해야 합니다. '$p$가' 충분조건이므로, $p$는 주는 쪽(화살표의 시작)이 됩니다. 즉, $p \rightarrow q$ 이며 포함 관계는 $P \subset Q$ 가 됩니다.
$a^2 = 16$ 을 도출하고도 무심코 $a = 4$ 만 생각하거나, 반대로 문제의 '양수' 조건을 잊고 $-4$ 와 $4$ 중에서 고민하다가 임의로 답을 선택하는 실수입니다.
해결 : 이차방정식 $X^2 = k (k>0)$ 의 해는 항상 $X = \pm\sqrt{k}$ 두 개가 나옴을 명심하고, 구한 해를 문제의 발문에 있는 제한 조건(양수, 음수, 자연수 등)에 반드시 다시 비추어 확인하는 습관을 들여야 합니다.
왜 조건 $p$가 $q$이기 위한 충분조건일 때 진리집합의 포함 관계가 $P \subset Q$ 가 되는지 논리적으로 살펴봅시다.
■ 시뮬레이터 조작 가이드
$a$의 변화에 따라 이차함수 $y = 3x^2 - ax - 32$ 의 그래프와 직선 $x = a$ 가 어떻게 상호작용하는지 확인하세요.
※ 푸른 점은 $x=a$ 일 때 이차함수의 함숫값 $(a, 2a^2 - 32)$ 를 나타냅니다. $p$가 $q$이기 위한 충분조건이 되려면 이 점이 $x$축( $y=0$ ) 위에 위치해야 합니다.