함수 - 유리함수와 역함수
7. 함수 $f(x) = \frac{k}{x-3} + 1$ 에 대하여 $f^{-1}(7) = 4$ 일 때, 상수 $k$의 값은? (단, $k \neq 0$) [3점]
이 문항은 역함수의 정의와 성질을 이해하고, 이를 유리함수의 함숫값 계산에 적용할 수 있는지를 평가합니다.
문제에서 역함수의 함숫값인 $f^{-1}(7) = 4$ 가 주어졌습니다. 역함수의 정의에 의하여, 함수 $f$ 와 그 역함수 $f^{-1}$ 사이에는 다음의 성질이 성립합니다.
이 성질을 문제의 조건에 적용하면 다음과 같이 원래 함수 $f$ 에 대한 조건으로 바꿀 수 있습니다.
Step 1에서 얻은 $f(4) = 7$ 이라는 조건을 문제에 주어진 함수식 $f(x) = \frac{k}{x-3} + 1$ 에 대입합니다. $x$ 의 자리에 $4$ 를 대입했을 때, 그 식의 전체 값이 $7$ 과 같아야 합니다.
Step 2에서 세운 식을 정리하여 상수 $k$ 의 값을 구합니다. 분모를 계산하면 $4 - 3 = 1$ 이 되므로 식은 매우 간단해집니다.
$\frac{k}{1} + 1 = 7$
$k + 1 = 7$
양변에서 $1$ 을 빼주면 $k$ 의 값을 얻을 수 있습니다.
따라서 상수 $k$ 의 값은 $6$ 이며, 정답은 선택지 ③번입니다.
문제를 풀기 위해 함수 $y = \frac{k}{x-3} + 1$ 에서 $x$ 와 $y$ 의 위치를 직접 바꾸어 역함수 식을 도출하려는 시도를 할 수 있습니다.
$x = \frac{k}{y-3} + 1 \implies x - 1 = \frac{k}{y-3} \implies y-3 = \frac{k}{x-1} \implies f^{-1}(x) = \frac{k}{x-1} + 3$
이 식에 $x=7$ 을 대입하여 $f^{-1}(7) = \frac{k}{7-1} + 3 = 4$ 를 풀어도 답은 $k=6$ 으로 동일하게 나옵니다.
하지만 이 과정은 시간이 더 오래 걸리며, 식을 정리하는 과정에서 대수적 계산 실수가 발생할 확률이 높습니다.
해결 방안 : 특정 지점에서의 역함수 값만 구하거나 주어졌을 때는, 역함수 식 전체를 구하기보다 역함수의 정의인 '$f^{-1}(b) = a \iff f(a) = b$' 를 활용하는 것이 수학적으로 가장 효율적이고 실수를 줄이는 방법입니다.
문제 해결의 가장 핵심이 되는 역함수의 정의를 다시 한번 점검해 봅시다.
■ 시뮬레이터 조작 가이드
상수 $k$ 의 변화에 따라 유리함수 $f(x) = \frac{k}{x-3} + 1$ 의 그래프 형태가 어떻게 변하는지 관찰하세요.
※ 목표 점 $(4, 7)$ 을 그래프가 지날 때, 즉 $f(4)=7$ 을 만족할 때가 우리가 찾는 정답입니다. 슬라이더를 조작하여 선이 점을 통과하게 만들어보세요.