무리함수 $f(x)$ 의 그래프 개형 분석

주어진 원래 함수를 $f(x) = \sqrt{4-2x} + 3$ 이라 합시다. 이 함수의 그래프를 그리기 위해 무리함수의 정의역과 치역, 그리고 그래프의 '시작점'을 파악해야 합니다.

• 근호 안의 식은 $0$ 이상이어야 하므로, $4-2x \ge 0 \implies x \le 2$ (정의역)
• 근호의 값은 항상 $0$ 이상이므로, $\sqrt{4-2x} \ge 0 \implies y \ge 3$ (치역)

따라서 이 무리함수의 그래프는 점 $(2, 3)$ 을 시작점으로 하고, $x$ 가 감소할 때 $y$ 는 증가하므로 좌표평면에서 왼쪽 위를 향해 그려지는 곡선입니다.

대칭성을 이용한 문제의 변환 (가장 중요한 아이디어)

문제는 $f(x)$ 의 역함수 $f^{-1}(x)$ 와 직선 $y = -x + k$ 의 교점을 묻고 있습니다. 역함수 식을 직접 구해서 연립할 수도 있지만, 대칭성을 이용하면 훨씬 수월합니다.

어떤 도형을 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동시키면 그것의 역대응(함수라면 역함수)이 됩니다. 그런데 흥미롭게도 기울기가 $-1$ 인 직선 $y = -x + k$ 는 $y = x$ 에 대하여 대칭이동을 해도 자기 자신과 일치합니다.

따라서, $f^{-1}(x)$ 와 $y = -x + k$ 의 교점의 개수는, 그것들을 통째로 $y = x$ 에 대해 대칭시킨 $f(x)$ 와 $y = -x + k$ 의 교점의 개수와 완벽하게 일치합니다. 우리는 무리함수 원형인 $y = \sqrt{4-2x} + 3$ 과 직선 $y = -x + k$ 가 서로 다른 두 점에서 만날 조건을 찾으면 됩니다.

경계 조건 찾기 ① : 직선이 시작점을 지날 때

함수 $y = \sqrt{4-2x} + 3$ 의 그래프와 기울기가 $-1$ 인 직선 $y = -x + k$ 가 두 점에서 만나기 위해 $y$ 절편인 $k$ 의 범위가 어떻게 되는지 조사합니다.

직선을 위아래로 평행이동시켜 보면, 두 점에서 만나기 시작하는 첫 번째 경계는 직선이 무리함수의 시작점 $(2, 3)$ 을 지날 때입니다. 이 때 $k$ 의 값을 구해보겠습니다.

$k = 5$ 일 때, 직선은 $(2,3)$ 과 곡선 안쪽의 또 다른 한 점, 총 두 점에서 만나게 됩니다.

경계 조건 찾기 ② : 직선이 곡선에 접할 때

$k$ 가 $5$ 보다 커지면서 직선이 위로 올라가면 계속 두 점에서 만나다가, 어느 순간 직선과 곡선이 한 점에서 접하게 되는 두 번째 경계에 도달합니다. 이 순간의 $k$ 값을 구하기 위해 두 식을 연립하고 이차방정식의 판별식을 사용합니다.

곡선과 직선이 접하려면 이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 판별식 $D = 0$ 이어야 합니다. (짝수 공식 $\frac{D}{4}$ 적용)

조건 종합 및 최솟값 도출

Step 3과 Step 4의 결과를 기하학적으로 종합하면 다음과 같습니다.

• $k = \frac{11}{2}$ 일 때 : 접하므로 교점은 1개
• $5 \le k < \frac{11}{2}$ 일 때 : 시작점과 접선 사이를 지나므로 교점은 2개
• $k < 5$ 일 때 : 무리함수 시작점의 왼쪽 아래에서 엇갈리므로 교점은 1개

따라서 이 조건을 만족하는 실수 $k$ 의 최솟값은 5 이며, 정답은 선택지 ③번입니다.