다항함수의 적분법 - 정적분과 급수의 합 사이의 관계
11. 함수 $f(x) = 4x^3 + x$ 에 대하여 $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n} f\left(\dfrac{2k}{n}\right)$ 의 값은? [3점]
이 문항은 구분구적법의 원리를 이해하고, 무한급수로 표현된 식을 정적분으로 변환하여 그 값을 계산할 수 있는지를 평가합니다.
주어진 무한급수 식 $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n} f\left(\dfrac{2k}{n}\right)$ 을 정적분으로 바꾸기 위한 첫 번째 단계는, 변하는 값인 $k$ 를 포함하는 부분을 찾아 적분 변수 $x$ 의 $k$ 번째 위치인 $x_k$ 로 설정하는 것입니다.
함수 $f$ 의 괄호 안의 식 전체를 $x_k$ 로 두는 것이 가장 직관적이고 실수를 줄이는 방법입니다. 따라서 다음과 같이 설정합니다.
이는 곧 $x_k = 0 + k \cdot \dfrac{2}{n}$ 을 의미하며, 시작점이 $x_0 = 0$ 이고 끝점이 $x_n = \dfrac{2n}{n} = 2$ 인 구간 $[0, 2]$ 를 바탕으로 한다는 것을 알 수 있습니다.
구간 $[0, 2]$ 를 $n$ 등분 하였으므로, 하나의 분할된 구간의 길이(직사각형의 밑변)인 $\Delta x$ 는 다음과 같습니다.
하지만 주어진 문제의 식에는 바깥에 $\dfrac{1}{n}$ 이 곱해져 있습니다. 정적분으로 온전히 변환하려면 이 부분을 $\Delta x$ 인 $\dfrac{2}{n}$ 모양으로 맞추어 주어야 합니다. 분자에 $2$ 를 곱해주고, 식의 값이 변하지 않도록 전체 식 앞에 $\dfrac{1}{2}$ 을 곱하여 보정합니다.
$\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n} f\left(\dfrac{2k}{n}\right) \cdot \dfrac{1}{n}$
$\downarrow$
$= \dfrac{1}{2} \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n} f\left(\dfrac{2k}{n}\right) \cdot \dfrac{2}{n}$
이제 Step 2에서 만들어진 식을 정적분의 정의에 따라 기호로 변환합니다.
마지막으로 주어진 함수 $f(x) = 4x^3 + x$ 를 대입하여 정적분을 계산합니다.
$\dfrac{1}{2} \int_{0}^{2} (4x^3 + x) dx$
$= \dfrac{1}{2} \left[ x^4 + \dfrac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{2}$
$= \dfrac{1}{2} \left( 2^4 + \dfrac{1}{2} \cdot 2^2 \right) - 0$
$= \dfrac{1}{2} (16 + 2) = \dfrac{1}{2} \times 18$
따라서 구하고자 하는 값은 9 이며, 정답은 선택지 ④번입니다.
이 유형에서 가장 많이 발생하는 실수는 적분 구간과 짝을 이루는 $dx$ (즉, 분할된 구간의 길이 $\Delta x$)를 제대로 맞춰주지 않고 단순히 모양만 보고 변환하는 것입니다.
논리적 교정
정적분의 정의 $\int_a^b f(x) dx = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n f(x_k) \Delta x$ 에서 $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$ 은 직사각형의 밑변의 길이입니다. 우리가 $x_k = a + \dfrac{b-a}{n}k$ 로 설정했다면, 반드시 급수식 꼬리에 붙어있는 값이 $\dfrac{b-a}{n}$ 형태여야 온전한 하나의 넓이를 구성하는 $f(x_k) \Delta x$ 가 됩니다.
이 문제에서는 구간의 길이가 $2-0 = 2$ 이므로 밑변 $\Delta x$ 는 $\dfrac{2}{n}$ 가 되어야 합니다. 하지만 식에는 $\dfrac{1}{n}$ 이 주어져 있으므로, 이는 직사각형의 밑변이 반토막 나있다는 것을 의미합니다. 따라서 식 전체에 숫자 조작(분모 분자에 2를 곱함)을 가하여 온전한 $\Delta x$ 를 만들어 주는 과정이 필수적입니다.
주어진 무한급수 $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n} f\left(\dfrac{2k}{n}\right)$ 은 $x_k$ 를 어떻게 설정하느냐에 따라 서로 다른 세 가지 형태의 정적분으로 변환될 수 있으며, 그 결과값은 모두 동일합니다.
방법 2의 결과인 $\int_{0}^{1} f(2x) dx$ 에서 $2x = t$ 로 치환하면, $2 dx = dt$ 이고 적분 구간은 $x=0$ 일 때 $t=0$, $x=1$ 일 때 $t=2$ 가 됩니다. 따라서 $\int_{0}^{1} f(2x) dx = \int_{0}^{2} f(t) \cdot \dfrac{1}{2} dt = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{2} f(x) dx$ 가 되어 방법 1의 결과와 일치함을 수학적으로 증명할 수 있습니다.
■ 시뮬레이터 조작 가이드
슬라이더를 움직여 구간 $[0, 2]$ 를 나누는 직사각형의 개수 $n$ 값을 변화시켜보세요. $n$ 이 커질수록 직사각형의 넓이의 합(급수)이 곡선 아래의 실제 넓이(정적분)에 수렴하는 과정을 눈으로 확인할 수 있습니다.
※ 문제에서 묻는 값은 이 전체 정적분 넓이의 절반 $\left(\dfrac{1}{2}\right)$ 임을 계산 결과를 통해 확인하세요.