다항함수의 미분법 - 함수의 극대와 극소
12. 함수 $f(x) = -x^4 + 8a^2x^2 - 1$ 이 $x=b$ 와 $x=2-2b$ 에서 극대일 때, $a+b$ 의 값은? (단, $a, b$ 는 $a>0, b>1$ 인 상수이다.) [3점]
이 문항은 다항함수의 도함수를 구하고 극대, 극소를 판별하여 주어진 조건을 만족하는 미정계수를 논리적으로 찾아낼 수 있는지를 평가합니다.
다항함수 $f(x)$가 특정 $x$ 값에서 극값을 갖기 위해서는 그 지점에서의 접선의 기울기, 즉 미분계수(도함수의 값)가 0이 되어야 합니다. 따라서 주어진 4차 함수 $f(x) = -x^4 + 8a^2x^2 - 1$ 이 극값을 가질 수 있는 위치(임계점)를 찾기 위해 먼저 양변을 $x$ 에 대하여 미분합니다.
방정식 $f'(x) = 0$ 을 만족하는 실근을 찾기 위해 식의 공통인수인 $-4x$ 로 묶어 인수분해를 진행합니다.
제곱의 차 공식 $x^2 - (2a)^2 = (x - 2a)(x + 2a)$ 를 활용하였습니다. 따라서 $f'(x) = 0$ 이 되는 $x$ 의 값은 $x = -2a$, $x = 0$, $x = 2a$ 이며, 이 세 지점이 극값의 후보가 됩니다.
이제 $f'(x) = 0$ 이 되는 $x$ 값들의 좌우에서 도함수 $f'(x)$ 의 부호가 어떻게 변하는지 확인하여 극대와 극소를 명확히 판별해야 합니다. 문제의 조건에서 $a > 0$ 이므로 세 실근의 대소 관계는 명확하게 $-2a < 0 < 2a$ 가 됩니다. 이를 바탕으로 증감표를 작성하면 다음과 같습니다.
| $x$ | $\cdots$ | $-2a$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $2a$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | 0 | $-$ | 0 | $+$ | 0 | $-$ |
| $f(x)$ | $\nearrow$ (증가) | 극대 | $\searrow$ (감소) | 극소 | $\nearrow$ (증가) | 극대 | $\searrow$ (감소) |
증감표에서 확인할 수 있듯, 도함수 $f'(x)$ 의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 변하는 지점인 $x = -2a$ 와 $x = 2a$ 에서 함수 $f(x)$ 는 극댓값을 가집니다.
문제의 조건에서 함수 $f(x)$ 가 $x = b$ 와 $x = 2-2b$ 에서 극대라고 명시했습니다. 앞서 우리가 구한 극대점의 $x$ 좌표 집합은 $\{ -2a, 2a \}$ 이고, 문제에서 제시된 극대점의 $x$ 좌표 집합은 $\{ b, 2-2b \}$ 입니다. 두 집합이 동일한 극대점의 위치를 설명하고 있으므로 집합의 상등 조건에 의해 다음이 성립합니다.
집합은 원소의 나열 순서를 구분하지 않으므로, 이 등식을 만족시키는 원소 간의 매칭(짝짓기) 방법은 논리적으로 두 가지 경우가 존재합니다. 이를 각각 나누어 검토해야 합니다.
앞서 파악한 두 가지 경우의 수를 연립방정식으로 풀어보고, 도출된 값이 문제의 초기 조건인 단, $a>0$, $b>1$ 을 만족하는지 확인합니다.
모순을 배제한 결과, 우리가 찾는 유일한 참인 해는 $a = 1, b = 2$ 입니다. 최종적으로 문제에서 구하고자 하는 $a + b$ 의 값은 다음과 같습니다.
$a + b = 1 + 2 = 3$
따라서 구하고자 하는 값은 3 이며, 정답은 선택지 ①번입니다.
학생들이 이 문제를 풀 때 가장 많이 범하는 실수는 극대점의 좌표 집합 $\{b, 2-2b\}$ 와 $\{-2a, 2a\}$ 를 매칭할 때, 경우의 수를 나누어 확인하지 않고 임의로 하나만 선택하여 풀거나, 제약 조건을 무시하여 잘못된 값을 도출하는 것입니다.
논리적 교정
수학 문제에서 괄호 안에 주어지는 단서 (단, $a>0, b>1$ 인 상수이다.) 는 항상 문제 풀이의 결정적인 필터링 역할을 합니다. 미지수가 포함된 방정식을 풀 때 복수의 해가 나오거나, 경우의 수가 나뉘는 상황에서는 반드시 이 초기 조건으로 돌아가 모순이 없는지 검증해야 합니다. 조건 $a>0$ 을 통해 $b = -2a$ 가 성립할 수 없음($b$가 음수가 되어 $b>1$ 에 모순)을 사전에 파악하는 것이 중요합니다.
최고차항의 계수가 음수인 4차 함수 $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ ($a < 0$)의 극값의 존재성은 그 도함수인 3차 함수 $f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d$ 가 $x$ 축과 만나는 교점의 개수에 따라 결정됩니다.
■ 시뮬레이터 조작 가이드
※ 정답 조건인 $a=1$ 일 때의 좌표와 집합 상등의 매칭 결과를 관찰해보세요.