수능 출제 분석

가형 5번 / 나형 7번

지수법칙을 이용한 식의 변환과 지수함수의 성질을 활용한 부등식의 풀이

Q 문제 원문

가형 5번&나형 7번. 지수함수와 로그함수

부등식 $\left(\frac{1}{9}\right)^x < 3^{21-4x}$ 을 만족시키는 자연수 $x$ 의 개수는? [3점]

① $6$

② $7$

③ $8$

④ $9$

⑤ $10$

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 지수법칙을 이용하여 식의 밑을 통일하고, 지수함수의 밑의 크기에 따른 증감 성질을 이용하여 지수부등식을 해결하는 능력을 평가합니다.

유리수 지수와 음의 정수 지수의 성질을 이해하고 적용하는 능력
지수함수 $y = a^x$ 에서 밑 $a$ 가 $1$ 보다 클 때, 함수가 단조 증가함을 이해하고 부등호 방향을 결정하는 능력
일차부등식을 풀고 조건을 만족하는 자연수의 개수를 정확히 세는 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

밑을 같게 통일하기

지수부등식을 풀기 위한 첫 단계는 양변의 밑을 같게 만드는 것입니다. 우변의 밑이 $3$ 이므로, 좌변의 밑인 $\frac{1}{9}$ 을 $3$ 의 거듭제곱으로 표현합니다.

\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}

이를 좌변의 식에 대입하여 지수법칙 $(a^m)^n = a^{mn}$ 을 적용합니다.

\left(\frac{1}{9}\right)^x = \left(3^{-2}\right)^x = 3^{-2x}

이제 주어진 부등식을 밑이 $3$ 인 지수 형태로 다시 쓸 수 있습니다.

3^{-2x} < 3^{21-4x}

[참고도 1 : 밑의 변환 과정]

Step 2

지수함수의 증가 성질을 이용한 부등식 도출

밑을 통일한 부등식 $3^{-2x} < 3^{21-4x}$ 에서 밑은 $3$ 입니다.

밑이 $1$ 보다 크므로 ($3 > 1$), 지수함수 $y = 3^t$ 는 증가함수입니다. 증가함수의 성질에 의해 함숫값이 더 크면 그에 대응하는 지수도 더 큽니다.

a > 1 \text{ 일 때, } a^{A} < a^{B} \iff A < B

따라서 부등호의 방향이 그대로 유지된 상태로 지수끼리의 부등식을 세울 수 있습니다.

$$ -2x < 21 - 4x $$

[참고도 2 : 밑이 1보다 큰 지수함수의 증가 성질]

Step 3

일차부등식 풀이 및 자연수 개수 구하기

도출된 일차부등식을 $x$ 에 대하여 정리합니다. $-4x$ 를 좌변으로 이항합니다.

-2x + 4x < 21 $$ $$ 2x < 21 $$ $$ x < \frac{21}{2}

$\frac{21}{2} = 10.5$ 이므로, $x < 10.5$ 를 만족시켜야 합니다. 문제에서 $x$ 는 자연수라고 하였으므로, 이 범위 안의 자연수 $x$ 를 구합니다.

x = 1, 2, 3, \cdots, 10

따라서 만족하는 자연수 $x$ 의 개수는 $10$ 개이며, 정답은 선택지 ⑤번입니다.

[참고도 3 : 수직선 상의 해의 범위와 자연수]

3 이론 매칭

지수법칙 지수함수의 뜻과 그래프 지수부등식

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오류 1 : 밑 통일 시 부호 실수

우변을 $\frac{1}{9}$ 에 맞추거나, 좌변을 $3$ 에 맞출 때 지수의 부호를 반대로 쓰는 실수가 잦습니다. 예를 들어 $\frac{1}{9} = 3^2$ 로 착각하여 지수를 $2x$ 로 두는 경우입니다.

해결 : 분수 형태를 거듭제곱으로 바꿀 때는 음의 정수 지수 정의 $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ 을 떠올려 부호를 명확히 확인해야 합니다.

오류 2 : 감소함수에서 부등호 방향 유지

만약 양변의 밑을 $\frac{1}{3}$ 과 같이 $1$ 보다 작은 값으로 통일했을 경우, $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-21+4x}$ 형태가 됩니다. 이때 기계적으로 지수만 빼내어 $2x < -21 + 4x$ 로 쓰는 오류입니다.

해결 : 지수부등식에서 밑 $a$ 가 $0 < a < 1$ 인 경우 함수는 단조 감소하므로, 지수끼리 비교할 때 반드시 부등호의 방향을 반대로 바꾸어야 합니다.

5 핵심 이론 증명 : 지수함수의 단조 증가 성질

문제의 핵심인 지수부등식을 풀기 위해서는 밑이 1보다 클 때 지수함수가 단조 증가한다는 성질이 필요합니다. 고등학교 교육과정에서는 이를 직관적으로 이해하지만, 간단한 대수적 논리로 그 타당성을 확인할 수 있습니다.

[설명] $a > 1$ 일 때, $x_1 < x_2 \implies a^{x_1} < a^{x_2}$

$x_1 < x_2$ 이므로 $x_2 - x_1 > 0$ 입니다. 편의상 $x_2 - x_1 = p$ 라고 하면 $p$ 는 양수입니다.
우리가 증명해야 할 것은 $a^{x_2} - a^{x_1} > 0$ 입니다. 식을 묶어봅시다. $a^{x_2} - a^{x_1} = a^{x_1 + p} - a^{x_1} = a^{x_1}(a^p - 1)$
지수함수의 성질에 의해 어떤 실수의 거듭제곱이든 $a^{x_1} > 0$ 입니다.
조건에서 밑 $a > 1$ 이고 지수 $p > 0$ 이므로, $a$ 를 $p$ 번 곱한 값 $a^p$ 역시 $1$ 보다 큽니다. 따라서 $(a^p - 1) > 0$ 입니다.
두 양수의 곱이므로 $a^{x_1}(a^p - 1) > 0$ 이 되어, $a^{x_2} > a^{x_1}$ 가 성립합니다.

이 성질에 의해 $a^{A} < a^{B}$ 이면 함수가 1대1 대응이며 단조 증가하므로 역으로 $A < B$ 임이 보장됩니다.

지수함수 증감 성질 시뮬레이터 (2D)

■ 시뮬레이터 조작 가이드

슬라이더를 움직여 지수함수 $y = a^x$ 의 밑 $a$ 를 조절해보세요. 밑의 크기에 따라 그래프가 증가하는지 감소하는지 시각적으로 확인할 수 있습니다.

고정된 두 지수 $x_1 = -1$ 과 $x_2 = 1$ 의 대소 관계에 따른 함숫값 비교.
$a > 1$ : 부등호 방향 유지 (증가)
$0 < a < 1$ : 부등호 방향 반전 (감소)

밑 $a$ 의 크기 a = 2.0

지수 x₁ = -1

0.50

지수 x₂ = 1

2.00

$x_1 < x_2$ 이고 a^x₁ < a^x₂ (부등호 유지)