가형 10번 / 나형 28번
사인법칙과 코사인법칙을 활용한 삼각형의 변의 길이 추론
Q 문제 원문
$\angle A = \frac{\pi}{3}$ 이고 $\overline{AB} : \overline{AC} = 3 : 1$ 인 삼각형 ABC가 있다.
삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이가 $7$ 일 때, 선분 AC의 길이는? (나형은 선분 AC의 길이를 $k$라 할 때, $k^2$의 값을 구하는 단답형 문항)
1 출제의도 : 핵심 평가 역량
이 문항은 삼각형의 외접원의 반지름과 한 각의 크기가 주어졌을 때 사인법칙을 이용하여 마주 보는 변의 길이를 구하고, 이어서 코사인법칙을 적용하여 나머지 변의 길이를 계산하는 능력을 평가합니다.
- 외접원의 반지름 $R$ 과 사인법칙 $\frac{a}{\sin A} = 2R$ 의 관계를 정확히 이해하고 적용하는 능력
- 주어진 변의 길이의 비례식을 실제 변의 길이로 미지수화(예: $3x$, $x$)하여 코사인법칙에 대입하는 능력
- 이차방정식을 풀이하여 기하학적 조건(길이는 양수)에 맞는 해를 도출하는 능력
2 상세 풀이 : Step-by-Step
사인법칙을 이용한 변 BC의 길이 도출
문제에서 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이가 $R = 7$ 이고, 각 $A$ 의 크기가 $\angle A = \frac{\pi}{3}$ 로 주어졌습니다. 삼각형의 외접원과 각의 크기가 주어졌으므로 가장 먼저 사인법칙을 떠올려야 합니다.
주어진 값들을 공식에 대입하여 $\overline{BC}$ 의 길이를 계산합니다.
미지수 설정 및 코사인법칙 적용
문제의 조건에서 두 변의 길이의 비가 $\overline{AB} : \overline{AC} = 3 : 1$ 로 주어졌습니다. 구하고자 하는 선분 $\overline{AC}$ 의 길이를 양수 $x$ ($x > 0$)로 두면, $\overline{AB}$ 의 길이는 $3x$ 로 표현할 수 있습니다.
이제 세 변의 길이($3x$, $x$, $7\sqrt{3}$)와 한 각($\frac{\pi}{3}$)에 대한 관계식이 필요하므로 코사인법칙을 적용합니다.
각 변의 값과 $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ 을 위 공식에 대입합니다.
방정식의 풀이 및 정답 도출
Step 2에서 얻은 방정식을 $x^2$ 에 대하여 정리합니다.
$x$ 는 선분 $\overline{AC}$ 의 길이이므로 양수 조건($x > 0$)을 만족해야 합니다. 따라서 제곱근을 취하여 $x$ 값을 구합니다.
따라서 선분 AC의 길이는 $\sqrt{21}$ 이며, 가형 문항의 정답은 ②번입니다.
(나형 단답형 문항의 경우 $k = \sqrt{21}$ 이므로 $k^2 = 21$ 이 정답이 됩니다.)
3 이론 매칭
4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정
오류 1 : 사인법칙의 2R 혼동
학생들이 사인법칙 $\frac{a}{\sin A} = 2R$ 에서 우변을 실수로 그냥 반지름 $R$ 로 계산하는 경우가 잦습니다. 이 경우 $\overline{BC} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$ 으로 잘못 계산되어 코사인법칙 식 전체가 어그러집니다.
해결 : 공식 유도 시 직각삼각형의 '빗변'이 원의 '지름(2R)'이 됨을 연상하여 공식의 우변이 $2R$ 임을 암기해야 합니다.
오류 2 : 완전제곱식 전개 누락
코사인법칙 식에서 $\overline{AB}^2$ 을 계산할 때, $(3x)^2$ 을 괄호 없이 $3x^2$ 으로 작성하여 $9x^2$ 이 아닌 $3x^2$ 으로 계산하는 대수적 실수가 발생할 수 있습니다.
해결 : 비례상수를 도입하여 미지수 $3x$ 를 설정했을 때는 항상 괄호를 치는 습관을 들여 $(3x)^2 = 9x^2$ 임을 명확히 해야 합니다.
5 핵심 이론 증명 : 사인법칙의 원리
문제 해결의 첫 단추인 사인법칙이 성립하는 이유를 기하학적으로 증명해보겠습니다. 원주각의 성질을 활용하면 쉽게 이해할 수 있습니다.
- 외접원의 중심을 $O$, 반지름을 $R$ 이라 합시다.
- 점 $B$ 에서 중심 $O$ 를 지나는 지름을 그어 원과 만나는 점을 $A'$ 이라 합니다. 그러면 지름의 길이는 $\overline{BA'} = 2R$ 이 됩니다.
- 원주각의 성질에 의해 동일한 호 $BC$ 에 대한 원주각은 같으므로 $\angle A = \angle A'$ 입니다.
- 지름에 대한 원주각은 직각이므로 $\angle A'CB = 90^\circ$ 가 되어 삼각형 $A'BC$ 는 직각삼각형입니다.
- 이 직각삼각형에서 빗변은 $2R$ 이고 각 $A'$ 와 마주보는 변은 $a$ ($\overline{BC}$) 입니다.
$$ \sin A' = \frac{\overline{BC}}{\overline{BA'}} = \frac{a}{2R} $$
- $\angle A = \angle A'$ 이므로 $\sin A = \frac{a}{2R}$ 가 성립하며, 이를 정리하면 최종적으로 $\frac{a}{\sin A} = 2R$ 이 됩니다.
조건 추적 시뮬레이터 (2D)
■ 기하학적 불변성 관찰
원주각의 성질에 의해 점 $A$ 가 호 위를 움직여도 $\angle A = 60^\circ$ 와 $\overline{BC}$ 의 길이는 일정하게 유지됩니다. 슬라이더를 조절하여 $AB : AC = 3 : 1$ 이 되는 정확한 순간을 찾아보세요.