다음 극한값을 구하시오.
이 문항은 무한급수를 정적분으로 변환하여 계산하는 능력을 평가합니다.
무한급수를 정적분으로 바꾸기 위해서는 식 내부에 $\frac{k}{n}$ 의 형태가 나타나야 합니다. 주어진 식의 근호 안을 살펴보면, 분모와 분자를 각각 $n$으로 나누어 이 형태를 만들 수 있습니다.
이를 원래의 극한식에 대입하고, $\frac{1}{n}$ 을 시그마 기호 안으로 넣어 구조를 명확히 합니다.
변형된 식을 바탕으로 변수 $x$와 적분 구간, 적분소 $dx$를 설정합니다. 가장 기본적이고 계산이 용이한 치환 방법은 $x_k = \frac{k}{n}$ 로 두는 것입니다.
도출된 정적분을 계산하기 위해, 무리함수를 지수 형태로 변환하여 부정적분을 구합니다. $\sqrt{3}$ 은 상수이므로 적분 기호 앞으로 빼냅니다.
$(ax+b)^n$ 꼴의 적분 공식 $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1} + C$ 에 의해, $n = -\frac{1}{2}$, $a=1$, $b=3$을 적용합니다.
학생들이 무한급수를 정적분으로 변환할 때, 치환하는 대상($x_k$)을 다르게 설정하면서 적분 구간이나 피적분함수를 원래의 짝과 맞추지 않아 오답을 내는 경우가 많습니다.
예를 들어, $x_k = 3 + \frac{k}{n}$ 으로 치환하기로 결정했다고 가정해봅시다. 이 경우 올바른 적분 구간은 $[3, 4]$ 이고, 올바른 함수는 $f(x) = \sqrt{\frac{3}{x}}$ 가 되어야 합니다. 하지만 흔히 다음과 같은 두 가지 실수를 범합니다.
① 함수는 바르게 구했으나, 적분 구간을 습관적으로 $[0, 1]$로 쓰는 경우
$$ \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{3}{x}} dx \quad \text{(X : 구간 설정 오류)} $$② 적분 구간은 바르게 구했으나, 함수 식을 $x_k = \frac{k}{n}$ 일 때의 형태 그대로 쓰는 경우
$$ \int_{3}^{4} \sqrt{\frac{3}{3+x}} dx \quad \text{(X : 함수 설정 오류)} $$
수학적 교정 :
$x_k = 3 + \frac{k}{n}$ 으로 두면, $k=1$ 일 때 극한값은 $3$, $k=n$ 일 때 극한값은 $4$ 가 되므로 적분 구간은 $[3, 4]$가 됩니다. 또한 함수는 원래 식 $\sqrt{\frac{3}{3+\frac{k}{n}}}$ 에서 $3+\frac{k}{n}$ 자리가 통째로 $x$가 되므로 $f(x) = \sqrt{\frac{3}{x}}$ 가 되어야 합니다.
어떤 형태로 치환하든 최종 결과값은 동일하지만, 치환식 - 적분 구간 - 함수식 이 세 가지가 논리적으로 하나의 세트를 이루어야 함을 명심해야 합니다.
고등학교 교육과정에서 무한급수를 정적분으로 나타내는 원리는 기하학적으로 도형의 넓이를 구하는 구분구적법(Method of Exhaustion)에 근간을 두고 있습니다.
함수 $y=f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 $f(x) \ge 0$ 일 때, 이 구간을 $n$등분 합니다.
$n$개의 직사각형 넓이의 합(급수)을 구한 뒤, $n$을 무한히 크게 하여($\lim_{n \to \infty}$) 오차를 0으로 수렴하게 만듭니다.
이를 바탕으로 문제에 적용할 수 있는 세 가지 변환 공식을 유도해낼 수 있습니다.
※ 문제 풀이에서는 가장 직관적이고 실수가 적은 1번 방법을 주로 권장합니다.
직사각형 분할 $n$의 변화에 따른 극한의 기하학적 이해