수능 기출 분석

가형 12번 / 나형 19번

확률변수의 표준화 및 정규분포 곡선의 대칭성을 활용한 확률 추론

Q 문제 원문

확률변수 $X$ 는 평균이 $8$, 표준편차가 $3$ 인 정규분포를 따르고, 확률변수 $Y$ 는 평균이 $m$, 표준편차가 $\sigma$ 인 정규분포를 따른다.

두 확률변수 $X$, $Y$ 가

P(4 \le X \le 8) + P(Y \ge 8) = \frac{1}{2}

을 만족시킬 때, $P\left(Y \le 8 + \frac{2\sigma}{3}\right)$ 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [가형 3점, 나형 4점]

$z$	$P(0 \le Z \le z)$
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772
2.5	0.4938

① $0.8351$

② $0.8413$

③ $0.9332$

④ $0.9772$

⑤ $0.9938$

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 정규분포 곡선이 평균에 대하여 대칭인 성질을 깊이 있게 이해하고, 확률변수를 표준화(Standardization)하여 미지의 모수(평균과 표준편차의 관계)를 대수적으로 이끌어내는 능력을 평가합니다.

$P(X \le m) = 0.5$ 라는 정규분포의 절반 넓이 성질을 활용한 확률식의 변형 능력
서로 다른 두 확률변수 $X$ 와 $Y$ 의 확률을 표준정규분포 $Z$ 로 일원화하여 비교하는 능력
표준정규분포 곡선의 대칭성( $P(Z \le -a) = P(Z \ge a)$ )을 활용한 미지수 식 도출 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

정규분포의 성질을 이용한 주어진 식의 재구성

확률변수 $X$ 는 정규분포 $N(8, 3^2)$ 을 따릅니다. 평균이 $8$ 이므로 정규분포 확률밀도함수의 전체 넓이 $1$ 의 절반인 $0.5$ 는 $P(X \le 8) = \frac{1}{2}$ 임을 의미합니다.

주어진 식 $P(4 \le X \le 8)$ 은 닫힌 구간의 확률이므로 다음과 같이 뺄셈으로 분해할 수 있습니다.

P(4 \le X \le 8) = P(X \le 8) - P(X \le 4) $$ $$ P(4 \le X \le 8) = \frac{1}{2} - P(X \le 4)

이 결과를 문제의 조건식에 대입해 봅시다.

\left\{ \frac{1}{2} - P(X \le 4) \right\} + P(Y \ge 8) = \frac{1}{2}

양변에서 $\frac{1}{2}$ 을 소거하고 이항하면 아주 직관적인 관계식을 얻습니다.

P(X \le 4) = P(Y \ge 8)

[참고도 1 : 정규분포 X의 확률 분할 (x축, y축 명시)]

Step 2

확률변수의 표준화 및 미지수 관계식 유도

서로 다른 정규분포 $X$ 와 $Y$ 의 확률을 비교하기 위해, 두 변수를 표준정규분포 $Z \sim N(0, 1^2)$ 로 표준화(Standardization) 합니다.

1) 확률변수 $X$ 의 표준화: $Z = \frac{X - 8}{3}$

P(X \le 4) = P\left(Z \le \frac{4 - 8}{3}\right) = P\left(Z \le -\frac{4}{3}\right)

2) 확률변수 $Y$ 의 표준화: $Z = \frac{Y - m}{\sigma}$

P(Y \ge 8) = P\left(Z \ge \frac{8 - m}{\sigma}\right)

Step 1에서 구한 $P(X \le 4) = P(Y \ge 8)$ 식에 이를 대입합니다.

P\left(Z \le -\frac{4}{3}\right) = P\left(Z \ge \frac{8 - m}{\sigma}\right)

표준정규분포 곡선은 $z = 0$ (y축)에 대하여 대칭이므로, 좌측 꼬리 확률과 우측 꼬리 확률이 같으려면 두 경곗값은 부호가 반대여야 합니다. 즉, $P(Z \le -a) = P(Z \ge a)$ 입니다.

\frac{8 - m}{\sigma} = \frac{4}{3}

[참고도 2 : 표준정규분포 Z의 대칭성 (z축, y축 명시)]

Step 3

구하고자 하는 확률 계산 및 정답 도출

문제에서 요구하는 확률은 $P\left(Y \le 8 + \frac{2\sigma}{3}\right)$ 입니다. 이 역시 확률변수 $Y$ 의 분포이므로 표준화 공식 $Z = \frac{Y - m}{\sigma}$ 를 적용합니다.

P\left(Y \le 8 + \frac{2\sigma}{3}\right) = P\left(Z \le \frac{\left(8 + \frac{2\sigma}{3}\right) - m}{\sigma}\right)

분자를 결합법칙으로 묶어 형태를 정리하면 앞서 유도한 관계식 $\frac{8-m}{\sigma}$ 의 꼴을 만들어 낼 수 있습니다.

= P\left(Z \le \frac{(8 - m) + \frac{2\sigma}{3}}{\sigma}\right) = P\left(Z \le \frac{8 - m}{\sigma} + \frac{2}{3}\right)

Step 2에서 구한 $\frac{8 - m}{\sigma} = \frac{4}{3}$ 를 식에 대입합니다.

= P\left(Z \le \frac{4}{3} + \frac{2}{3}\right) = P\left(Z \le \frac{6}{3}\right) = P(Z \le 2)

최종적으로 표준정규분포표를 이용하여 $P(Z \le 2)$ 의 값을 계산합니다.

P(Z \le 2) = P(Z \le 0) + P(0 \le Z \le 2) $$ $$ = 0.5 + 0.4772 = 0.9772

따라서 구하고자 하는 확률은 $0.9772$ 이며, 정답은 ④번입니다.

3 이론 매칭

정규분포 정규분포 곡선의 성질(대칭성) 표준정규분포 확률변수의 표준화

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오류 1 : 미지수 확률 직접 계산 시도

$P(4 \le X \le 8)$ 을 계산하기 위해 곧바로 표준화를 시도하면 $P(-\frac{4}{3} \le Z \le 0)$ 이 됩니다. 하지만 표준정규분포표에는 $z=1.33...$ 값이 없어 당황하고 풀이를 멈추는 학생이 많습니다.

해결 : 표에 없는 값이 나왔다면 정확한 값의 도출이 아닌 대수적 관계식(치환)을 요구하는 문제입니다. 식의 형태 자체를 유지하며 전개하는 전략이 필요합니다.

오류 2 : 대칭성 부호 실수

$P(Z \le -a) = P(Z \ge b)$ 꼴에서 대칭성에 의해 $b = a$ 로 놓아야 하는데, 부호를 그대로 두어 $\frac{8-m}{\sigma} = -\frac{4}{3}$ 로 잘못 계산하는 실수가 흔합니다.

해결 : 증명) 종 모양의 정규분포 곡선은 $z=0$ (y축) 대칭 기함수 성질을 지니므로 적분구간에 대해 $\int_{-\infty}^{-a} f(z)dz = \int_{a}^{\infty} f(z)dz$ 가 성립합니다. 따라서 부호 반전을 반드시 점검해야 합니다.

5 핵심 이론 증명 : 확률변수 표준화 공식의 원리

우리가 당연하게 사용하는 표준화 공식 $Z = \frac{X - m}{\sigma}$ 이 어떻게 평균 $0$, 분산 $1$ 인 새로운 확률분포를 만들어내는지 기댓값(평균)과 분산의 기본 성질을 통해 증명해 보겠습니다.

[증명] $Z = \frac{X - m}{\sigma}$ 의 평균과 분산

확률변수 $X \sim N(m, \sigma^2)$ 에 대하여 $E(X) = m$, $V(X) = \sigma^2$ 입니다.
1. 기댓값 (평균) 증명 선형 변환의 기댓값 성질 $E(aX + b) = aE(X) + b$ 를 적용합니다. $E(Z) = E\left(\frac{X - m}{\sigma}\right) = E\left(\frac{1}{\sigma}X - \frac{m}{\sigma}\right) $$ $$ = \frac{1}{\sigma}E(X) - \frac{m}{\sigma} = \frac{1}{\sigma}(m) - \frac{m}{\sigma} = 0$ 따라서 새로운 확률변수 $Z$ 의 평균은 $0$ 이 됩니다.
2. 분산 증명 선형 변환의 분산 성질 $V(aX + b) = a^2V(X)$ 를 적용합니다. $V(Z) = V\left(\frac{X - m}{\sigma}\right) = V\left(\frac{1}{\sigma}X - \frac{m}{\sigma}\right) $$ $$ = \left(\frac{1}{\sigma}\right)^2 V(X) = \frac{1}{\sigma^2}(\sigma^2) = 1$ 따라서 새로운 확률변수 $Z$ 의 분산은 $1$ 이 됩니다.

결론적으로 어떤 정규분포 $X$ 든 $Z = \frac{X-m}{\sigma}$ 로 변환하면 $Z \sim N(0, 1^2)$ 이라는 공통의 잣대(표준정규분포)를 가지게 되어 서로 다른 집단의 확률을 비교할 수 있게 됩니다.

정규분포 표준화 및 대칭성 시뮬레이터 (2D)

■ 시각적 직관

아래 그래프는 정규분포 곡선의 대칭성을 이용해 확률 넓이가 어떻게 일치하는지 보여줍니다. 슬라이더를 움직여 $z$ 축 상의 범위를 조절하면, 대칭적인 두 넓이가 동일하게 변화하는 모습을 관찰할 수 있습니다.

확률 경곗값 조절 ($z$ 값) z = 1.33 (4/3)

$P(Z \le -z)$ 넓이

0.0918

$P(Z \ge z)$ 넓이

0.0918

문제의 정답 확률 계산: $P(Z \le z + 2/3)$

0.9772

y축 (확률밀도)

z축