수능 기출 분석

가형 13번 / 나형 18번

로그함수의 그래프의 교점 및 기하학적 성질의 추론

Q 문제 원문

$\frac{1}{4} < a < 1$ 인 실수 $a$ 에 대하여 직선 $y=1$ 이 두 곡선 $y=\log_a x, y=\log_{4a} x$ 와 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 직선 $y=-1$ 이 두 곡선 $y=\log_a x, y=\log_{4a} x$ 와 만나는 점을 각각 C, D라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

<보 기>

ㄱ. 선분 AB를 $1 : 4$ 로 외분하는 점의 좌표는 $(0, 1)$ 이다.

ㄴ. 사각형 ABCD가 직사각형이면 $a = \frac{1}{2}$ 이다.

ㄷ. $\overline{AB} < \overline{CD}$ 이면 $\frac{1}{2} < a < 1$ 이다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 밑이 미지수로 주어진 로그함수의 그래프와 상수함수(직선)의 교점의 좌표를 대수적으로 구하고, 이를 바탕으로 선분의 외분, 도형의 성질, 부등식을 복합적으로 추론하는 능력을 평가합니다.

로그의 정의를 활용하여 방정식 $\log_a x = k$ 의 해를 $x = a^k$ 꼴로 구하는 능력
주어진 범위 $\frac{1}{4} < a < 1$ 에 따라 함수가 증가함수인지 감소함수인지 파악하고 점들의 위치 관계를 결정하는 능력
선분의 외분점 공식을 정확히 적용하는 능력
좌표평면 위에서 네 점으로 이루어진 사각형이 직사각형이 되기 위한 대수적, 기하학적 필요충분조건을 이해하는 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

각 점의 좌표 구하기 및 함수의 증감 분석

직선 $y=1$ 과 $y=-1$ 이 두 로그함수와 만나는 점의 좌표를 구하기 위해 각각의 함수식을 방정식으로 세워 풀어냅니다.

[점 A와 B의 좌표]

\log_a x = 1 \implies x = a^1 = a \implies A(a, 1) $$ $$ \log_{4a} x = 1 \implies x = (4a)^1 = 4a \implies B(4a, 1)

[점 C와 D의 좌표]

\log_a x = -1 \implies x = a^{-1} = \frac{1}{a} \implies C\left(\frac{1}{a}, -1\right) $$ $$ \log_{4a} x = -1 \implies x = (4a)^{-1} = \frac{1}{4a} \implies D\left(\frac{1}{4a}, -1\right)

조건에서 $\frac{1}{4} < a < 1$ 이므로, $1 < 4a < 4$ 입니다. 따라서 밑이 $a$ 인 로그함수는 단조 감소하고, 밑이 $4a$ 인 로그함수는 단조 증가하는 형태를 가집니다.

[참고도 1 : 각 점의 대략적인 위치 (예: a=0.5)]

Step 2

보기 ㄱ 해석 : 선분의 외분점

두 점 $A(a, 1)$ 과 $B(4a, 1)$ 은 y좌표가 같으므로, 선분 AB를 $1 : 4$ 로 외분하는 점의 좌표는 x좌표에 대해서만 계산하면 됩니다.

\text{외분점의 } x\text{좌표} = \frac{1 \cdot (4a) - 4 \cdot a}{1 - 4} = \frac{4a - 4a}{-3} = 0

y좌표는 여전히 $1$ 이므로 외분점의 좌표는 $(0, 1)$ 입니다. 따라서 보기 ㄱ은 참입니다.

[참고도 2 : 선분 AB의 1 : 4 외분점]

Step 3

보기 ㄴ 해석 : 직사각형이 될 조건

선분 AB는 직선 $y=1$ 위에 있고, 선분 CD는 직선 $y=-1$ 위에 있으므로 두 선분은 서로 평행합니다. 사각형 ABCD가 직사각형이 되려면 인접한 두 변이 수직이어야 하므로, 선분 AD와 선분 BC가 각각 y축과 평행해야 합니다. (점의 순서가 좌측 상단부터 시계반대방향 또는 시계방향으로 A-D-C-B 구조를 가져야 함)

직사각형 성립 조건 : 점 A와 점 D의 x좌표가 같고, 점 B와 점 C의 x좌표가 같아야 합니다.
즉, $x_A = x_D$ 이고 $x_B = x_C$ 이어야 합니다.

a = \frac{1}{4a} \implies 4a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{4} $$ $$ 4a = \frac{1}{a} \implies 4a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{4}

주어진 조건 $\frac{1}{4} < a < 1$ 이므로, $a = \frac{1}{2}$ 입니다. 따라서 보기 ㄴ은 참입니다.

[참고도 3 : a=0.5 일 때의 직사각형 ABCD]

Step 4

보기 ㄷ 해석 : 선분의 길이와 부등식

선분 AB와 CD의 길이를 $a$ 에 대한 식으로 나타낸 후 부등식을 풉니다. $a > 0$ 이므로 $4a > a$ 이고, 역수 관계에서 $\frac{1}{a} > \frac{1}{4a}$ 임을 주의하여 절댓값을 벗깁니다.

\overline{AB} = 4a - a = 3a $$ $$ \overline{CD} = \frac{1}{a} - \frac{1}{4a} = \frac{4 - 1}{4a} = \frac{3}{4a}

주어진 부등식 $\overline{AB} < \overline{CD}$ 에 대입하여 풉니다.

3a < \frac{3}{4a} $$ $$ a < \frac{1}{4a} $$ $$ 4a^2 < 1 \implies a^2 < \frac{1}{4}

$a > 0$ 이므로 풀면 $0 < a < \frac{1}{2}$ 가 됩니다. 원래 문제의 조건인 $\frac{1}{4} < a < 1$ 과 교집합을 구하면, 최종 해는 $\frac{1}{4} < a < \frac{1}{2}$ 입니다.

보기 ㄷ에서는 $\frac{1}{2} < a < 1$ 이라고 하였으므로 거짓입니다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이며 정답은 ③번입니다.

[참고도 4 : 부등식의 해 영역]

3 이론 매칭

로그의 정의 로그함수의 그래프의 성질 선분의 외분점 평면좌표 위 사각형의 성질 이차부등식의 풀이

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오류 1 : 직사각형의 꼭짓점 순서 무시

보기 ㄴ을 해석할 때, 단순히 'x좌표가 2개씩 같아야 한다'고 생각하여 $x_A = x_C$ 이고 $x_B = x_D$ 로 식을 세우는 실수입니다. 이 경우 $a = \frac{1}{a} \implies a=1$ 이 되어 모순에 빠집니다.

해결 : 사각형 ABCD는 좌표평면 상에서 점들이 위치한 순서대로 이어야 합니다. $a < 4a$ 이고 $\frac{1}{4a} < \frac{1}{a}$ 이므로, 각 직선 위의 점의 좌우 위치를 파악하여 $x_A = x_D$, $x_B = x_C$ 임을 알아내야 합니다.

오류 2 : 선분의 길이 계산 시 절댓값 누락

보기 ㄷ에서 선분 CD의 길이를 단순히 점 C의 x좌표에서 점 D의 x좌표를 뺀 $\frac{1}{a} - \frac{1}{4a}$ 로 바로 쓰는 것은 우연히 맞았을 뿐 위험합니다.

해결 : 수직선 상의 두 점 사이의 거리는 항상 $|x_2 - x_1|$ 입니다. $a > 0$ 이므로 $\frac{1}{a} > \frac{1}{4a}$ 가 성립함을 먼저 확인한 후, 큰 값에서 작은 값을 빼어 양수로 만들어야 합니다.

5 핵심 이론 증명 : 선분의 외분점 좌표 유도

보기 ㄱ에서 사용된 수직선 위의 선분의 외분점 공식을 닮음비(거리의 비)를 이용하여 논리적으로 유도해 봅시다.

[유도] 수직선 위의 두 점 $A(x_1)$, $B(x_2)$ 에 대하여 선분 AB를 $m : n$ ($m > n > 0$)으로 외분하는 점 $Q(x)$ 의 좌표

외분점의 정의에 의해 $\overline{AQ} : \overline{BQ} = m : n$ 이 성립합니다.
$m > n$ 이므로 점 $Q$ 는 점 $B$ 의 오른쪽 바깥에 위치합니다. 따라서 $x_1 < x_2 < x$ 의 대소 관계를 가집니다.
각 선분의 길이를 좌표로 표현하면 $\overline{AQ} = x - x_1$, $\overline{BQ} = x - x_2$ 입니다.
비례식에 대입합니다. $$$ (x - x_1) : (x - x_2) = m : n $$$
내항의 곱과 외항의 곱이 같음을 이용합니다. $$$ m(x - x_2) = n(x - x_1) $$ $$ mx - mx_2 = nx - nx_1 $$$
구하고자 하는 $x$ 에 대하여 식을 정리합니다. $(m - n)x = mx_2 - nx_1 $$ $$ x = \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}$
위 공식을 문제의 $x_1 = a$, $x_2 = 4a$, $m = 1$, $n = 4$ 에 대입하면 동일한 결과를 얻을 수 있습니다. (단, 이 문제는 $m < n$ 이므로 점 Q가 A의 왼쪽에 위치합니다.)

조건 추적 시뮬레이터 (2D)

■ 변수 a에 따른 도형의 변화 관찰

슬라이더를 통해 변수 $a$ 의 값을 변화시키면서 두 로그함수의 곡률 변화와 교점 A, B, C, D가 그리는 사각형의 모양을 관찰하세요. 특정 값에서 직사각형이 성립하는 것을 직접 확인할 수 있습니다.

실수 a의 값 (0.25 초과 1 미만) a = 0.60

선분 AB 길이

0.00

선분 CD 길이

0.00

사각형 상태

일반 사다리꼴