수능 출제 분석

무한 등비급수와 도형의 활용

Q 문제 원문

그림과 같이 $\overline{\text{AB}_1}=2$, $\overline{\text{AD}_1}=4$인 직사각형 $\text{AB}_1\text{C}_1\text{D}_1$이 있다. 선분 $\text{AD}_1$을 $3 : 1$로 내분하는 점을 $\text{E}_1$이라 하고, 직사각형 $\text{AB}_1\text{C}_1\text{D}_1$의 내부에 점 $\text{F}_1$을 $\overline{\text{F}_1\text{E}_1}=\overline{\text{F}_1\text{C}_1}$, $\angle\text{E}_1\text{F}_1\text{C}_1 = \frac{\pi}{2}$가 되도록 잡고 삼각형 $\text{E}_1\text{F}_1\text{C}_1$을 그린다. 사각형 $\text{E}_1\text{F}_1\text{C}_1\text{D}_1$을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $\text{AB}_1$ 위의 점 $\text{B}_2$, 선분 $\text{E}_1\text{F}_1$ 위의 점 $\text{C}_2$, 선분 $\text{AE}_1$ 위의 점 $\text{D}_2$와 점 A를 꼭짓점으로 하고 $\overline{\text{AB}_2} : \overline{\text{AD}_2} = 1 : 2$인 직사각형 $\text{AB}_2\text{C}_2\text{D}_2$를 그린다. 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 $\text{AB}_2\text{C}_2\text{D}_2$에 삼각형 $\text{E}_2\text{F}_2\text{C}_2$를 그리고 사각형 $\text{E}_2\text{F}_2\text{C}_2\text{D}_2$를 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n \to \infty} S_n$의 값은? [4점]

① $\frac{441}{115}$

② $\frac{447}{115}$

③ $\frac{453}{115}$

④ $\frac{459}{115}$

⑤ $\frac{465}{115}$

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 무한 등비급수를 도형 문제에 적용하여 해결하는 능력을 평가합니다.

주어진 기하학적 조건(길이, 각도)을 이용하여 첫 번째 도형의 넓이($S_1$)를 정확히 계산하는 능력 (피타고라스 정리 및 평면좌표 활용)
이전 도형과 새로 그려지는 도형 사이의 비례 관계를 수식으로 세워 닮음비(공비 $r$)를 도출하는 능력
도출한 첫째항과 공비를 등비급수 합 공식 $\frac{a}{1-r}$ 에 대입하여 극한값을 산출하는 계산 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1 : 좌표평면 설정 및 첫째항 ($S_1$) 구하기

도형 문제를 쉽게 해결하기 위해 점 $\text{A}$를 원점 근처의 기준으로 삼아 좌표평면 위에 배치합니다. 직사각형이 축과 평행하도록 다음과 같이 좌표를 설정합니다.

$\text{A}(0, 2)$, $\text{B}_1(0, 0)$, $\text{C}_1(4, 0)$, $\text{D}_1(4, 2)$ (조건 $\overline{\text{AB}_1}=2, \overline{\text{AD}_1}=4$ 만족)
$\text{E}_1$은 $\text{AD}_1$을 $3 : 1$로 내분하므로, $\text{AE}_1 = 3$. 따라서 $\text{E}_1(3, 2)$

이제 점 $\text{F}_1$의 좌표를 찾아야 합니다. $\triangle \text{E}_1\text{F}_1\text{C}_1$은 $\angle \text{F}_1 = \frac{\pi}{2}$이고 $\overline{\text{F}_1\text{E}_1} = \overline{\text{F}_1\text{C}_1}$인 직각이등변삼각형입니다. 선분 $\text{E}_1\text{C}_1$의 중점을 $\text{M}$이라 하면, $\text{M}$의 좌표는 $\left( \frac{3+4}{2}, \frac{2+0}{2} \right) = (3.5, 1)$ 입니다.

벡터 $\vec{\text{E}_1\text{C}_1} = (4-3, 0-2) = (1, -2)$ 입니다. 이 벡터에 수직인 방향의 벡터는 $(2, 1)$ 또는 $(-2, -1)$ 입니다. 직각이등변삼각형의 성질에 의해 $\overline{\text{F}_1\text{M}}$ 의 길이는 $\overline{\text{E}_1\text{C}_1}$ 의 절반인 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 가 되어야 합니다. $\text{F}_1$의 좌표는 $\text{M}$에서 수직 방향으로 이동하여 구합니다. $\text{F}_1 = (3.5, 1) + \frac{1}{2}(-2, -1) = (2.5, 0.5)$ (만약 $(2, 1)$ 방향으로 더하면 $\text{F}_1$의 $x$좌표가 $4.5$가 되어 직사각형 내부라는 조건에 위배됩니다.)

색칠된 넓이 $S_1$은 사각형 $\text{E}_1\text{F}_1\text{C}_1\text{D}_1$의 넓이로, 두 삼각형의 넓이의 합으로 구할 수 있습니다.

\begin{aligned} S_1 &= \triangle \text{E}_1\text{F}_1\text{C}_1 + \triangle \text{E}_1\text{C}_1\text{D}_1 \\ &= \left( \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{5}{2}} \times \sqrt{\frac{5}{2}} \right) + \left( \frac{1}{2} \times \overline{\text{E}_1\text{D}_1} \times \text{높이} \right) \\ &= \frac{5}{4} + \left( \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \right) = \frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4} \end{aligned}

[참고도 1 : 1단계 도형의 좌표 및 넓이 분석]

Step 2 : 두 번째 직사각형의 한 변 길이와 닮음비(공비) 구하기

두 번째 직사각형 $\text{AB}_2\text{C}_2\text{D}_2$는 가로와 세로의 비가 $2 : 1$입니다. 점 $\text{A}(0,2)$를 공유하므로, 새로 만들어지는 직사각형의 세로 길이를 $k$라고 하면 각 꼭짓점의 좌표는 다음과 같습니다.

$\overline{\text{AB}_2} = k$ 이므로 $\text{B}_2(0, 2-k)$
$\overline{\text{AD}_2} = 2k$ 이므로 $\text{D}_2(2k, 2)$
직사각형이므로 점 $\text{C}_2$의 좌표는 $(2k, 2-k)$ 가 됩니다.

문제 조건에서 점 $\text{C}_2$는 선분 $\text{E}_1\text{F}_1$ 위에 있다고 하였습니다. 선분 $\text{E}_1\text{F}_1$의 직선의 방정식을 구해보겠습니다.

\text{E}_1(3, 2)$ 와 $\text{F}_1(2.5, 0.5)$ 를 지나는 직선의 기울기 $m$ : $$ m = \frac{0.5 - 2}{2.5 - 3} = \frac{-1.5}{-0.5} = 3 $$ 직선의 방정식 : $y - 2 = 3(x - 3) \implies y = 3x - 7

여기에 점 $\text{C}_2(2k, 2-k)$ 를 대입합니다.

2 - k = 3(2k) - 7 $$ $$ 2 - k = 6k - 7 $$ $$ 7k = 9 \implies k = \frac{9}{7}

첫 번째 직사각형의 세로는 $2$ 였고, 두 번째 직사각형의 세로는 $k = \frac{9}{7}$ 입니다.
따라서 길이의 비(닮음비)는 $\frac{k}{2} = \frac{9}{14}$ 가 되며, 넓이의 비인 공비 $r$은 이의 제곱이 됩니다. $$ r = \left( \frac{9}{14} \right)^2 = \frac{81}{196} $$

[참고도 2 : 닮음비 계산을 위한 좌표 관계]

Step 3 : 무한 등비급수의 합 계산

구해진 첫째항 $S_1 = \frac{9}{4}$ 과 넓이의 공비 $r = \frac{81}{196}$ 을 무한 등비급수 공식에 대입하여 최종 극한값을 계산합니다.

\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} S_n &= \frac{S_1}{1 - r} \\ &= \frac{\frac{9}{4}}{1 - \frac{81}{196}} \\ &= \frac{\frac{9}{4}}{\frac{115}{196}} \\ &= \frac{9}{4} \times \frac{196}{115} \\ &= \frac{9 \times 49}{115} \\ &= \frac{441}{115} \end{aligned}

따라서 정답은 ① $\frac{441}{115}$ 입니다.

3 이론 매칭

무한 등비급수 도형의 닮음 평면좌표와 직선의 방정식 벡터의 수직 조건 (심화 연계)

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오류 1 : 길이 비와 넓이 비의 혼동

이전 도형에서 다음 도형으로 넘어갈 때 구한 축소 비율 $k = \frac{9}{14}$ 은 길이의 비입니다. 많은 학생들이 급하게 계산하다가 이 길이의 비를 그대로 공비 $r$ 로 사용하여 오답을 내곤 합니다. 구하고자 하는 것은 '넓이'의 무한합이므로 반드시 길이의 비를 제곱하여 넓이의 비 $r = (\frac{9}{14})^2 = \frac{81}{196}$ 로 만들어야 합니다.

오류 2 : 직각이등변삼각형 꼭짓점 좌표 설정 오류

점 $\text{F}_1$의 위치를 감으로 잡거나 작도에만 의존하여 구하면 좌표가 틀려 $S_1$ 계산 전체가 어긋납니다. 반드시 선분 $\text{E}_1\text{C}_1$의 중점 $\text{M}$을 지나고 $\overline{\text{E}_1\text{C}_1}$에 수직인 직선 상에서, 거리가 $\frac{1}{2}\overline{\text{E}_1\text{C}_1}$ 인 점을 대수적으로 명확히 찾아야 합니다. 직사각형 내부라는 조건 ($0 < x < 4$)을 확인하는 검증 과정도 필수적입니다.

5 핵심 이론 증명 : 무한 등비급수의 합

도형의 넓이가 일정한 비율로 축소되며 무한히 더해지는 현상은 고등학교 수학의 무한 등비급수 이론으로 증명됩니다.

등비급수 $S = \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ 의 수렴성 유도

첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 부분합 $S_n$은 다음과 같습니다.

S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}

양변에 공비 $r$을 곱하면 :

rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n

위 두 식을 변끼리 빼면 대부분의 항이 소거됩니다.

S_n - rS_n = a - ar^n $$ $$ (1 - r)S_n = a(1 - r^n) $$ $$ \therefore S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (\text{단, } r \neq 1)

이때 도형의 닮음비에 의해 넓이는 축소되므로 공비 $r$의 범위는 $0 < r < 1$ 이 됩니다. 따라서 $n \to \infty$ 일 때, $r^n \to 0$ 으로 수렴합니다.

\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a}{1 - r}

프랙탈 도형 2D 시뮬레이터

반복 횟수 $n$에 따른 도형의 중첩과 무한급수의 기하학적 누적

아래 슬라이더를 통해 그려지는 도형의 반복 횟수(Iteration)를 조절해보세요.
공통 꼭짓점 $\text{A}(0,2)$ 를 중심으로 축소된 도형이 내부로 한없이 파고드는 프랙탈 구조를 관찰할 수 있습니다.
모든 도형은 길이비 $\frac{9}{14}$ 를 유지하며 축소 및 평행이동(A점 기준) 됩니다.
반복 횟수가 늘어날수록 누적된 넓이가 극한값 $\frac{441}{115} \approx 3.834$ 에 다가가는 것을 확인하세요.

도형 반복 생성 횟수 ($n$) : 1

누적 넓이 ($S_n$) 2.2500

극한값 ($\lim_{n \to \infty} S_n$) 3.8348