15. $x>0$에서 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여
이다. $x<0$에서 미분가능한 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $g(-3)$의 값은? [4점]
(가) $x<0$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g'(x) = f'(-x)$이다.
(나) $f(2) + g(-2) = 9$
이 문항은 고등학교 심화수학 과정인 '미적분'의 내용을 바탕으로 하며, 주어진 도함수로부터 부정적분을 계산하여 원함수를 추론하고, 분리된 구간에서 정의된 함수들의 적분상수 및 대칭적 관계를 논리적으로 결합할 수 있는지를 평가합니다.
$x>0$ 인 구간에서 도함수는 $f'(x) = 2 - 3x^{-2}$ 로 주어졌습니다. 양변을 $x$ 에 대하여 부정적분하여 함수 $f(x)$ 를 구합니다. 다항식의 적분법 $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ (단, $n \neq -1$) 을 적용합니다.
(여기서 $C_1$ 은 적분상수입니다.)
문제에서 주어진 초기 조건 $f(1) = 5$ 를 대입하여 적분상수 $C_1$ 을 결정합니다.
따라서 $x>0$ 에서 $f(x) = 2x + \frac{3}{x}$ 입니다.
조건 (가) 에 의하면 $x<0$ 인 모든 실수에 대하여 $g'(x) = f'(-x)$ 입니다. 먼저 $f'(-x)$ 의 식을 정리해 봅시다.
놀랍게도 $f'(-x) = f'(x)$ 이 성립합니다. 즉, 도함수식 자체가 y축에 대하여 대칭인 우함수 형태를 띠고 있습니다. 따라서 $g'(x)$ 의 식은 다음과 같습니다.
이제 $g'(x)$ 를 부정적분하여 $g(x)$ 를 구합니다.
[중요 주의사항] $f(x)$ 는 $x>0$ 에서, $g(x)$ 는 $x<0$ 에서 정의되어 있습니다. 두 함수는 정의역 구간이 분리되어 있으므로 부정적분을 할 때 발생하는 적분상수는 반드시 독립적인 문자(예 : $C_1, C_2$)로 구별해서 써야 합니다.
조건 (나) 에서 $f(2) + g(-2) = 9$ 라고 주어졌습니다. 앞서 구한 $f(x)$ 와 $g(x)$ 식에 각각 값을 대입하여 계산합니다.
이 두 값의 합을 구하여 조건식에 적용합니다.
조건에 의해 이 합이 $9$ 가 되어야 하므로, $C_2 = 9$ 임을 알 수 있습니다. 따라서 $x<0$ 인 구간에서 함수 $g(x)$ 는 다음과 같습니다.
최종적으로 문제에서 요구하는 $g(-3)$ 의 값을 계산합니다.
따라서 정답은 ② 2 입니다.
학생들이 가장 자주 범하는 실수는 $f(x)$ 와 $g(x)$ 의 도함수 식이 동일한 형태($2 - 3x^{-2}$)로 나오자, 무의식적으로 동일한 적분상수 $C$ 를 사용하는 것입니다. 이 경우 $g(x) = 2x + \frac{3}{x} + 0$ 으로 착각하여 $g(-3) = -7$ 이라는 완전히 틀린 답에 도달하게 됩니다.
수학적 교정 : 정의역이 끊어져 있는 구간이거나 서로 다른 두 함수를 각각 적분할 때는, 반드시 다른 기호의 적분상수($C_1, C_2$ 등)를 부여해야 합니다. 적분상수는 미분으로 인해 지워진 '상수 정보'를 복원하는 것인데, 함수가 다르면 그 상수 정보도 당연히 다를 수 있기 때문입니다.
$\frac{1}{x^2}$ 을 $x^{-2}$ 로 바꾼 후 적분할 때, 차수를 하나 더하는 과정에서 $-2 + 1 = -1$ 을 생각하지 못하고 로그함수 $\ln|x|$ 가 등장하는 것으로 착각하거나, 계수의 부호를 틀리는 계산 실수가 빈번합니다.
수학적 교정 : 다항함수의 적분 공식 $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ 는 $n \neq -1$ 인 모든 실수에 대해 성립합니다. 적분 후에는 반드시 머릿속으로 다시 미분을 해보아 원래 식인 $-3x^{-2}$ 가 정확히 나오는지 검산하는 습관을 가져야 합니다. $\left(\frac{3}{x}\right)' = \left(3x^{-1}\right)' = -3x^{-2}$
문제의 조건 (가) $g'(x) = f'(-x)$ 를 직접 적분하여 증명해 볼 수 있습니다. 미적분 과목에서 다루는 합성함수의 미분법(Chain Rule)에 의하면 다음이 성립합니다.
즉, $f'(-x)$ 의 부정적분 중 하나는 $-f(-x)$ 가 됩니다. 따라서 양변을 부정적분하면 다음과 같은 관계를 유도할 수 있습니다.
이 문제의 특수한 상황 적용 :
본 문제에서 구한 $f(x) = 2x + \frac{3}{x}$ 는 원점에 대하여 대칭인 기함수(홀함수) 성질을 가집니다. 기함수의 정의에 의해 $f(-x) = -f(x)$ 가 성립합니다.
이 성질을 앞서 유도한 $g(x)$ 식에 대입해 보면,
결과적으로 기함수를 미분하여 우함수인 도함수를 얻었고, 도함수 조건 $g'(x)=f'(-x)=f'(x)$ 로 인해 $g(x)$ 의 식 형태가 $f(x)$ 에 적분상수 $C$ 만 더해진 형태가 된 수학적 필연성을 확인할 수 있습니다.
기하학적 조건과 변수 변화