지수함수와 등차수열의 기하학적 융합
Q 문제 원문
16. 상수 $k(k>1)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$이 있다.
모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n < a_{n+1}$이고 곡선 $y=2^x$ 위의 두 점 $P_n(a_n, 2^{a_n}), P_{n+1}(a_{n+1}, 2^{a_{n+1}})$을 지나는 직선의 기울기는 $k \times 2^{a_n}$이다.
점 $P_n$을 지나고 $x$축에 평행한 직선과 점 $P_{n+1}$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 만나는 점을 $Q_n$이라 하고 삼각형 $P_n Q_n P_{n+1}$의 넓이를 $A_n$이라 하자.
다음은 $a_1=1, \frac{A_3}{A_1} = 16$일 때, $A_n$을 구하는 과정이다.
두 점 $P_n, P_{n+1}$을 지나는 직선의 기울기가 $k \times 2^{a_n}$이므로
$2^{a_{n+1}-a_n} = k(a_{n+1}-a_n) + 1$
이다. 즉, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}-a_n$은 방정식 $2^x = kx + 1$의 해이다.
$k>1$이므로 방정식 $2^x = kx + 1$은 오직 하나의 양의 실근 $d$를 갖는다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}-a_n = d$이고, 수열 $\{a_n\}$은 공차가 $d$인 등차수열이다.
점 $Q_n$의 좌표가 $(a_{n+1}, 2^{a_n})$이므로
$A_n = \frac{1}{2} (a_{n+1}-a_n)(2^{a_{n+1}} - 2^{a_n})$
이다. $\frac{A_3}{A_1} = 16$이므로 $d$의 값은 (가) 이고, 수열 $\{a_n\}$의 일반항은
$a_n =$ (나)
이다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $A_n =$ (다) 이다.
위의 (가)에 알맞은 수를 $p$, (나)와 (다)에 알맞은 식을 각각 $f(n), g(n)$이라 할 때, $p + \frac{g(4)}{f(2)}$의 값은? [4점]
1 출제의도 : 핵심 평가 역량
이 문항은 수학I의 '지수함수와 로그함수', '수열' 단원의 개념을 융합한 빈칸 추론 문제입니다. 지수함수 그래프 위의 두 점을 연결한 직선의 기울기를 대수적 식으로 표현하고, 이를 통해 도출된 방정식의 근의 유일성을 바탕으로 수열이 등차수열임을 논리적으로 추론하는 능력을 평가합니다.
- 두 점을 지나는 직선의 기울기 공식 적용 및 지수법칙을 활용한 식의 조작 능력
- 방정식의 실근이 함수의 그래프의 교점임을 이해하고, 양의 실근의 유일성을 파악하는 기하학적 해석 능력
- 등차수열의 귀납적 정의($a_{n+1} - a_n = d$)를 인지하고 일반항을 도출하는 능력
- 주어진 기하학적 조건(삼각형의 넓이)을 수식으로 표현하고 비례식을 풀어 상수를 결정하는 연산 능력
2 상세 풀이 : Step-by-Step
본문의 유도 과정을 따라가면 수열 $\{a_n\}$은 공차가 $d$인 등차수열임을 알 수 있습니다. 즉, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} - a_n = d$ 입니다. 주어진 삼각형 넓이 식을 공차 $d$를 이용하여 정리해 봅시다.
지수법칙을 사용하여 $2^{a_n}$ 으로 묶어냅니다.
Step 1에서 구한 식을 이용하여 $A_1$ 과 $A_3$ 의 비율을 계산합니다.
비율을 구하면 공통 부분인 $\frac{1}{2} d (2^d - 1)$ 이 약분되어 매우 간단해집니다.
수열 $\{a_n\}$은 공차가 $d$인 등차수열이므로 $a_3 - a_1 = 2d$ 입니다. 따라서 $2^{2d} = 16$ 이 성립합니다.
따라서 (가)에 알맞은 수 $p = 2$ 입니다.
첫째항이 $a_1 = 1$ 이고, Step 2에서 구한 공차가 $d = 2$ 인 등차수열의 일반항을 구합니다.
따라서 (나)에 알맞은 식 $f(n) = 2n - 1$ 입니다.
Step 1에서 구한 식 $A_n = \frac{1}{2} d \cdot 2^{a_n} (2^d - 1)$ 에 $d = 2$ 와 $a_n = 2n - 1$ 을 대입합니다.
따라서 (다)에 알맞은 식 $g(n) = 3 \cdot 2^{2n-1}$ 입니다.
문제에서 요구하는 $p + \frac{g(4)}{f(2)}$ 의 값을 계산합니다.
값을 대입하여 정리합니다.
따라서 정답은 ⑤ 130 입니다.
3 이론 매칭
4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정
오류 1 : 변수와 상수의 혼동
방정식 $2^{a_{n+1}-a_n} = k(a_{n+1}-a_n) + 1$ 을 얻었을 때, $a_{n+1}-a_n$ 을 상수가 아닌 변하는 값으로 취급하여 수열이 등차수열임을 확신하지 못하는 경우가 있습니다. 수열의 번호 $n$에 따라 $a_n$은 변하지만, $k$가 결정된 상수라면 이 방정식의 근 역시 고정된 상수임을 논리적으로 확정해야 합니다.
수학적 교정 : $a_{n+1}-a_n$ 을 하나의 문자 $x$ 로 치환하면 $2^x = kx + 1$ 이 됩니다. 이 식에서 $x$ 는 미지수이지만, $k$ 가 주어지면 $x$ 의 값은 특정 실근으로 결정됩니다. 지문에서 "양의 실근 $d$를 갖는다"고 선언하였으므로, $n$ 값에 상관없이 $x$ 즉 $a_{n+1}-a_n$ 은 항상 동일한 상수 $d$ 임을 받아들여야 합니다.
오류 2 : 지수법칙 적용 실수
$A_n$ 을 구하는 과정에서 $2^{a_{n+1}} - 2^{a_n}$ 을 계산할 때, 지수법칙을 잘못 적용하여 $2^{a_{n+1}-a_n}$ 이나 다른 형태로 착각하는 연산 실수가 종종 발생합니다.
수학적 교정 : 다항식의 인수분해처럼 공통인수로 묶는다는 개념을 적용해야 합니다. $2^{a_{n+1}} = 2^{a_n + d} = 2^{a_n} \cdot 2^d$ 이므로, 식을 $2^{a_n} \cdot 2^d - 2^{a_n} = 2^{a_n}(2^d - 1)$ 로 정확하게 분리하고 결합하는 훈련이 필요합니다.
5 핵심 이론 증명 : 방정식의 실근의 유일성 (심화)
문제 지문에서 "오직 하나의 양의 실근 $d$를 갖는다"라고 기재되어 있지만, 고등학교 미적분 교과과정의 도함수의 활용(방정식과 부등식에의 활용)을 통해 이를 엄밀하게 증명할 수 있습니다.
함수 $h(x) = 2^x - kx - 1$ 이라고 정의합시다. 방정식의 해는 $h(x) = 0$ 을 만족하는 $x$ 값입니다.
즉, $x=0$ 은 항상 하나의 실근입니다.
이제 $h(x)$ 의 도함수를 구해보면,
이계도함수는 $h''(x) = 2^x (\ln 2)^2 > 0$ 이므로, $h'(x)$ 는 실수 전체에서 단조증가 함수입니다. (즉, $h(x)$는 아래로 볼록한 함수입니다.)
$h'(x) = 0$ 이 되는 지점은 오직 한 곳 존재하며, 그 지점을 기점으로 $h(x)$ 는 감소하다가 증가하는 개형을 가집니다.
또한 $k > 1$ 이고 $\ln 2 \approx 0.693 < 1$ 이므로, $x=0$ 일 때 접선의 기울기 $h'(0) = \ln 2 - k < 0$ 입니다. 즉 원점에서 함수 $h(x)$ 는 감소 상태에 있습니다.
결론 :
$h(0) = 0$ 이고 그 직후 감소하므로 $x>0$ 인 구간에서 $h(x)$ 는 음수 값을 가집니다. 하지만 이계도함수가 양수(아래로 볼록)이고 $x \to \infty$ 일 때 $h(x) \to \infty$ 이므로, 함수 $h(x)$ 는 다시 증가하여 $x$축을 정확히 한 번 통과하게 됩니다. 이 교점이 바로 유일한 양의 실근 $d$ 가 됩니다.
기하학적 조건 시각화 시뮬레이터
상호작용 가이드
- 그래프는 지수함수 $y = 2^x$ 를 나타냅니다.
- 공차 $d$ 조절 슬라이더를 움직여 삼각형의 밑변 길이가 변할 때, 두 삼각형 $A_1, A_3$ 의 넓이 비율이 어떻게 달라지는지 확인하세요.
- 항 번호 $n$ 조절 슬라이더를 움직이면 해당 번호의 삼각형 $P_n Q_n P_{n+1}$ (붉은색) 영역으로 카메라 시점이 이동합니다. 넓이가 기하급수적으로 커지는 것을 직관적으로 확인할 수 있습니다.