17. 좌표평면의 원점에 점 $P$가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가
$2$ 이하이면 점 $P$를 $x$축의 양의 방향으로 $3$만큼,
$3$ 이상이면 점 $P$를 $y$축의 양의 방향으로 $1$만큼
이동시킨다.
이 시행을 $15$번 반복하여 이동된 점 $P$와 직선 $3x+4y=0$ 사이의 거리를 확률변수 $X$라 하자. $E(X)$의 값은? [4점]
이 문항은 확률과 통계의 '독립시행의 확률 및 이항분포'와 수학(상)의 '점과 직선 사이의 거리' 개념을 융합한 문제입니다. 확률변수를 새롭게 정의하고, 기하학적 상황을 대수적으로 표현하여 기댓값의 성질을 적용하는 종합적 추론 능력을 평가합니다.
한 번의 시행에서 주사위를 던져 $2$ 이하의 눈이 나오는 사건을 $A$라고 합시다. 주사위의 눈은 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 중 하나이므로 사건 $A$가 일어날 확률 $P(A)$는 다음과 같습니다.
$3$ 이상의 눈이 나오는 사건은 사건 $A$의 여사건이므로 일어날 확률은 $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ 입니다.
총 $15$번의 독립시행에서 사건 $A$가 일어나는 횟수를 확률변수 $W$라고 하면, $W$는 이항분포를 따릅니다.
이항분포의 기댓값 공식 $E(W) = np$ 에 의해 $W$의 기댓값은 다음과 같이 계산됩니다.
시행을 $15$번 반복했을 때, $x$축 방향으로 이동하는 횟수가 $W$번이므로, $y$축 방향으로 이동하는 횟수는 $(15 - W)$번이 됩니다.
$x$축 방향으로는 한 번에 $3$만큼, $y$축 방향으로는 한 번에 $1$만큼 이동하므로, 최종 점 $P$의 좌표는 다음과 같이 $W$에 대한 식으로 표현됩니다.
점 $P(3W, 15 - W)$ 와 직선 $3x + 4y = 0$ 사이의 거리를 구하는 공식을 적용합니다. 이 거리가 바로 문제에서 정의한 확률변수 $X$입니다.
분모와 분자를 각각 정리합니다. 분모는 $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ 가 됩니다. 분자는 다음과 같이 전개됩니다.
$W$는 횟수를 나타내므로 $W \ge 0$ 인 정수입니다. 따라서 $5W + 60$ 은 항상 양수입니다. 그러므로 절댓값 기호를 그대로 벗길 수 있습니다.
우리가 구해야 하는 것은 $X$의 기댓값 $E(X)$ 입니다. 확률변수의 기댓값의 선형적 성질 $E(aX + b) = aE(X) + b$ 를 이용합니다.
Step 1에서 구한 $E(W) = 5$ 를 대입하여 최종 계산을 마무리합니다.
따라서 정답은 ③ 17 입니다.
학생들이 자주 범하는 첫 번째 실수는 $15$번의 시행 결과를 일일이 나열하거나, 기댓값의 정의 $E(X) = \sum x_i p_i$ 를 직접 계산하려고 $W=0, 1, ..., 15$ 일 때의 거리를 모두 구하려는 접근입니다. 이는 시간이 매우 오래 걸리고 계산 실수를 유발합니다.
수학적 교정 : 반복되는 독립적인 시행에서 '특정 사건의 발생 횟수'를 묻거나 관련지을 때는 반드시 이항분포를 떠올려야 합니다. 발생 횟수를 문자 $W$로 치환하면 복잡한 확률 계산을 이항분포의 깔끔한 공식 $E(W)=np$ 로 회피할 수 있습니다.
거리 공식 $X = \frac{|5W + 60|}{5}$ 에서, 식이 $1차식$ 형태로 나오자 고민 없이 절댓값을 벗기고 $W+12$ 라고 단정 짓는 경우가 있습니다. 이 문제에서는 우연히 부호가 양수라 정답에 영향을 주지 않았지만, 다른 문제에서는 치명적인 오답 원인이 됩니다.
수학적 증명 : 절댓값 내부의 부호를 반드시 판별해야 합니다. 확률변수 $W$는 '사건이 발생한 횟수'이므로 $W \in \{0, 1, 2, ..., 15\}$ 인 양의 정수 또는 $0$의 집합에 속합니다. 즉, $W \ge 0$ 이 보장됩니다. 따라서 $5W \ge 0$ 이고 $5W + 60 > 0$ 이 엄밀하게 성립하므로 $|5W+60| = 5W+60$ 임을 확인하는 논리적 과정이 필수입니다.
문제 해결의 마지막 단계에서 사용된 핵심 성질입니다. 이산확률변수 $X$가 가질 수 있는 값을 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 이라 하고, 각각의 확률을 $P(X=x_i) = p_i$ 라고 정의합시다.
기댓값의 정의에 의해 $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$ 입니다.
새로운 확률변수 $Y = aX + b$ ($a, b$는 상수)를 생각해보면, $X$가 $x_i$의 값을 가질 때 $Y$는 $ax_i + b$의 값을 가지며, 그 확률은 여전히 $p_i$ 로 동일합니다.
따라서 $Y$의 기댓값 $E(Y)$는 다음과 같이 계산됩니다.
시그마($\Sigma$)의 선형 성질을 이용하여 식을 분리합니다.
여기서 $\sum x_i p_i = E(X)$ 이고, 확률의 총합 $\sum p_i = 1$ 이므로,
이 증명을 통해 $W$가 어떤 분포를 따르든 관계없이 $E(W+12) = E(W)+12$ 가 성립함을 수학적으로 확신할 수 있습니다.
상호작용 가이드