수능 출제 분석

등비수열의 극한으로 정의된 함수와 합성함수

Q 문제 원문

18. 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를

f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{(a-2)x^{2n+1} + 2x}{3x^{2n} + 1}

라 하자. $(f \circ f)(1) = \frac{5}{4}$ 가 되도록 하는 모든 $a$의 값의 합은? [4점]

① $\frac{11}{2}$

② $\frac{13}{2}$

③ $\frac{15}{2}$

④ $\frac{17}{2}$

⑤ $\frac{19}{2}$

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 수학 I의 '수열의 극한 (등비수열의 극한)'과 수학 (하)의 '합성함수' 개념을 종합적으로 묻는 문제입니다. 특히 공비의 범위에 따라 극한값이 달라지는 성질을 이용하여 함수를 새롭게 정의하고, 이를 바탕으로 미정계수를 추론하는 능력을 평가합니다.

등비수열 $x^n$을 포함한 식에서 밑 $x$의 절댓값 크기($|x|<1, |x|=1, |x|>1$)에 따라 극한을 분류하여 함수 $f(x)$의 식을 도출하는 능력
합성함수 $(f \circ f)(x) = f(f(x))$의 정의를 정확히 이해하고 함숫값을 계산하는 능력
도출된 함숫값이 다시 정의역의 어느 구간에 속하는지 케이스를 분류하여 논리적으로 방정식을 해결하는 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1 : 함숫값 $f(1)$ 구하기

우리가 최종적으로 계산해야 할 값은 $(f \circ f)(1)$ 입니다. 합성함수의 정의에 따라 이는 $f(f(1))$ 과 같습니다. 가장 먼저 안쪽의 함숫값인 $f(1)$을 구해야 합니다.
문제에 주어진 극한식에 $x = 1$ 을 대입합니다. $1$의 거듭제곱은 항상 $1$이므로 극한을 쉽게 계산할 수 있습니다.

f(1) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{(a-2)1^{2n+1} + 2(1)}{3(1^{2n}) + 1} $$ $$ f(1) = \frac{(a-2) \cdot 1 + 2}{3 \cdot 1 + 1} = \frac{a - 2 + 2}{4} = \frac{a}{4}

따라서 우리가 구해야 하는 조건식은 다음과 같이 변형됩니다.

f(f(1)) = f\left(\frac{a}{4}\right) = \frac{5}{4}

Step 2 : 구간에 따른 함수 $f(x)$의 정의 도출

$f\left(\frac{a}{4}\right)$ 의 값을 계산하기 위해서는 정의역 $x$의 범위에 따른 $f(x)$의 식을 명확히 알아야 합니다. 등비수열 $x^{2n}$의 극한은 공비 $x^2$의 크기에 따라 달라지므로 절댓값을 기준으로 케이스를 분류합니다.

① $|x| < 1$ 인 경우 :

$\lim\limits_{n \to \infty} x^{2n} = 0$ 이고 $\lim\limits_{n \to \infty} x^{2n+1} = 0$ 이므로,

f(x) = \frac{(a-2) \cdot 0 + 2x}{3 \cdot 0 + 1} = 2x

② $|x| > 1$ 인 경우 :

$\lim\limits_{n \to \infty} x^{2n} = \infty$ 이므로 분모와 분자를 $x^{2n}$으로 나눕니다.

f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{(a-2)x + \frac{2x}{x^{2n}}}{3 + \frac{1}{x^{2n}}} = \frac{(a-2)x + 0}{3 + 0} = \frac{a-2}{3}x

③ $x = 1$ 인 경우 :

Step 1에서 계산했듯이 $f(1) = \frac{a}{4}$ 입니다.

④ $x = -1$ 인 경우 :

$\lim\limits_{n \to \infty} x^{2n} = 1$ 이고 $\lim\limits_{n \to \infty} x^{2n+1} = -1$ 이므로,

f(-1) = \frac{(a-2)(-1) + 2(-1)}{3(1) + 1} = \frac{-a + 2 - 2}{4} = -\frac{a}{4}

함수 $f(x)$의 개형 (예시: $a > 4$인 경우)

Step 3 : 조건에 맞는 $a$ 값 찾기 (경우의 수)

이제 $f\left(\frac{a}{4}\right) = \frac{5}{4}$ 를 만족하는 $a$를 찾습니다. $\frac{a}{4}$ 가 어느 구간에 속하는지 모르므로 위에서 구한 4가지 경우를 모두 확인해야 합니다. 편의상 $k = \frac{a}{4}$ 라 둡시다.

[Case A] $\left|\frac{a}{4}\right| < 1$, 즉 $-4 < a < 4$ 일 때

이 구간에서 $f(x) = 2x$ 이므로,

f\left(\frac{a}{4}\right) = 2 \left(\frac{a}{4}\right) = \frac{a}{2}

$\frac{a}{2} = \frac{5}{4}$ 여야 하므로, $a = \frac{5}{2}$ 입니다.
$a = \frac{5}{2}$ 는 전제 조건인 $-4 < a < 4$ 를 만족합니다. (근으로 채택)

[Case B] $\left|\frac{a}{4}\right| > 1$, 즉 $a > 4$ 또는 $a < -4$ 일 때

이 구간에서 $f(x) = \frac{a-2}{3}x$ 이므로,

f\left(\frac{a}{4}\right) = \frac{a-2}{3} \cdot \frac{a}{4} = \frac{a(a-2)}{12}

$\frac{a(a-2)}{12} = \frac{5}{4}$ 양변에 12를 곱하면,
$a(a-2) = 15 \implies a^2 - 2a - 15 = 0$
$(a-5)(a+3) = 0 \implies a = 5$ 또는 $a = -3$
전제 조건이 $a > 4$ 또는 $a < -4$ 이므로, $a = 5$ 만 만족합니다. ($a=-3$ 은 버림)

[Case C] $\frac{a}{4} = 1$, 즉 $a = 4$ 일 때

이 때 $f(1) = \frac{4}{4} = 1$ 입니다.
문제의 조건인 $\frac{5}{4}$ 와 같지 않으므로 모순입니다.

[Case D] $\frac{a}{4} = -1$, 즉 $a = -4$ 일 때

이 때 $f(-1) = -\frac{-4}{4} = 1$ 입니다.
마찬가지로 조건인 $\frac{5}{4}$ 와 같지 않으므로 모순입니다.

Step 4 : 결론 도출

Step 3의 분석을 통해 조건을 만족하는 $a$의 값은 $\frac{5}{2}$ 와 $5$ 두 개임을 알 수 있습니다.
따라서 모든 실수 $a$의 값의 합은 다음과 같습니다.

\frac{5}{2} + 5 = \frac{5}{2} + \frac{10}{2} = \frac{15}{2}

따라서 정답은 ③ $\frac{15}{2}$ 입니다.

3 이론 매칭

등비수열의 극한 극한으로 정의된 함수 합성함수의 함숫값 이차방정식의 해 구간에 따른 방정식의 실근 조건

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오류 1 : 도출된 해의 정의역 조건(전제 조건) 미확인

학생들이 가장 많이 범하는 실수는 Step 3의 [Case B]에서 이차방정식 $a^2 - 2a - 15 = 0$ 을 풀고 나온 해 $a = 5$ 와 $a = -3$ 을 모두 정답으로 취합하는 것입니다. 이 경우 모든 해의 합은 $\frac{5}{2} + 5 + (-3) = \frac{9}{2}$ 가 되어 오답을 도출하게 됩니다.

수학적 교정 : 이차방정식은 $|x| = \left|\frac{a}{4}\right| > 1$ 이라는 가정 하에 세워진 식입니다. 즉 $a > 4$ 거나 $a < -4$ 범위에서만 유효한 식입니다. $a = -3$ 은 이 범위를 벗어나므로 원래 함수 $f(x)$ 에서는 $|x| < 1$ 인 첫 번째 케이스 식을 따라야 합니다. (실제로 $a = -3$ 일 때 $f\left(-\frac{3}{4}\right) = 2 \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{2} \neq \frac{5}{4}$ 임을 알 수 있습니다.) 항상 자신이 푼 식이 어떤 가정(Domain) 위에서 만들어졌는지 점검해야 합니다.

5 핵심 이론 증명 : 밑의 절댓값에 따른 등비수열의 극한

$\lim\limits_{n \to \infty} r^n$ 의 수렴과 발산 조건

극한으로 정의된 함수 문제를 풀 때 밑 $r$ (문제에서는 $x^2$)의 범위를 나누는 것은 수학 I 교과과정의 가장 핵심적인 정리에서 기인합니다.

$|r| < 1$ 일 때 : 수열 $\{r^n\}$ 은 0에 수렴합니다. 즉, $\lim\limits_{n \to \infty} r^n = 0$
증명 개요 : $|r| < 1$ 이면 $\frac{1}{|r|} > 1$ 이므로 $\frac{1}{|r|} = 1 + h$ ($h>0$)로 둘 수 있습니다. 베르누이 부등식에 의해 $(1+h)^n \ge 1 + nh$ 이고, $n \to \infty$ 일 때 $(1+h)^n \to \infty$ 이므로 그 역수인 $|r|^n \to 0$ 이 됩니다.
$|r| > 1$ 일 때 : 수열 $\{r^n\}$ 의 절댓값은 양의 무한대로 발산합니다. 즉, $\lim\limits_{n \to \infty} |r^n| = \infty$
활용 : 극한식에 $r^n$이 포함된 분수식 형태라면, 분모 분자를 가장 빠르게 발산하는 항인 $r^n$ 으로 나누어 무한대/무한대 꼴을 상수/상수 꼴로 변형하여 수렴값을 찾습니다.
$r = 1$ 일 때 : $\lim\limits_{n \to \infty} 1^n = 1$ (상수열)
$r = -1$ 일 때 : 수열 $\{(-1)^n\}$ 은 $1, -1, 1, -1, \dots$ 로 진동하므로 발산합니다. 이 경우 짝수항($2n$)과 홀수항($2n+1$)을 명확히 구분하여 함수에 대입해야 함숫값을 구할 수 있습니다.

함수 $f(x)$ 2D 그래프 및 합성 시뮬레이터

상호작용 가이드

슬라이더를 움직여 미정계수 $a$의 값을 조절해보세요. $a$값에 따라 $|x|>1$ 구간의 그래프 기울기가 변합니다.
초록색 점선 화살표는 합성함수 $(f \circ f)(1)$을 시각적으로 구하는 '거미줄(Cobweb) 차트' 과정을 상세히 보여줍니다.
- 1단계 : $x=1$ 에서 출발하여 수직으로 이동, $y=f(x)$ 그래프와 만나는 점의 $y$좌표 $f(1)$을 찾습니다.
- 2단계 : 방금 구한 함숫값 $f(1)$을 안쪽 함수의 결과이자 바깥 함수의 새로운 입력값($x$좌표)으로 전환하기 위해, 수평으로 이동하여 $y=x$ 직선과 만납니다.
- 3단계 : 전환된 위치($x=f(1)$)에서 다시 수직으로 이동하여 $y=f(x)$ 그래프와 만나는 점이 최종 함숫값 $f(f(1))$이 됩니다. 마지막으로 $y$축으로 수평 이동하여 최종 값을 읽습니다.
목표값인 $y = 1.25$ ($\frac{5}{4}$) 에 도달하는 $a$값을 직접 찾아보세요.

계수 $a$ 조절 (-6.0 ~ 8.0) a = 2.0

$ f(1) = \frac{a}{4} $ 0.50

최종 f(f(1)) 값 1.00