가형 19번 / 나형 29번
경우의 수와 확률 : 중복조합 및 확률의 덧셈정리와 곱셈정리
Q 문제 원문
숫자 3, 3, 4, 4, 4가 하나씩 적힌 5개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.
주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어
꺼낸 공에 적힌 수가 3이면 주사위를 3번 던져서 나오는 세 눈의 수의 합을 점수로 하고,
꺼낸 공에 적힌 수가 4이면 주사위를 4번 던져서 나오는 네 눈의 수의 합을 점수로 한다.
이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 10점일 확률은? [4점]
※ 나형 29번은 동일한 문항에서 단답형으로 출제됨 (확률이 $\frac{q}{p}$일 때 $p+q$를 구하시오)
1 출제의도 : 핵심 평가 역량
이 문항은 확률의 곱셈정리와 덧셈정리를 바탕으로, 배반사건으로 나누어 경우를 분류하고, 각 경우마다 중복조합을 활용하여 제한된 조건을 만족하는 해의 개수를 정확히 구하는 능력을 평가합니다.
- 시행의 단계에 따라 사건을 논리적으로 분할(덧셈정리)하는 능력
- 주사위 눈의 최댓값(6) 제한이라는 상한선 조건(Upper Bound)이 포함된 중복조합 모델링 능력
- 여사건을 활용하여 불가능한 조건을 배제하는 논리적 추론 능력
2 상세 풀이 : Step-by-Step
주머니에는 3이 적힌 공 2개, 4가 적힌 공 3개가 있습니다. 처음 주머니에서 꺼내는 공의 숫자에 따라 주사위를 던지는 횟수가 달라지므로, 크게 두 가지 배반사건으로 나누어 접근해야 합니다.
- 사건 A : 3이 적힌 공을 뽑는 경우 (확률 : $\frac{2}{5}$)
- 사건 B : 4가 적힌 공을 뽑는 경우 (확률 : $\frac{3}{5}$)
우리가 구하고자 하는 '최종 점수가 10점일 사건'을 $E$라고 할 때, 전확률의 정리에 의해 다음과 같이 표현됩니다.
3이 적힌 공을 꺼냈으므로 주사위를 3번 던집니다. 나오는 눈의 수를 각각 $x, y, z$라고 하면, 이들의 합이 10이 되어야 합니다. 주사위의 눈은 1부터 6까지의 자연수입니다.
중복조합을 적용하기 위해 모든 변수를 음이 아닌 정수 조건으로 바꿉니다. $x' = x-1, y' = y-1, z' = z-1$로 치환하면, $0 \le x', y', z' \le 5$ 가 되며 방정식은 다음과 같이 변환됩니다.
먼저, 상한 조건($\le 5$)을 무시하고 음이 아닌 정수해의 총 개수를 구합니다. $$ {}_{3}H_{7} = {}_{3+7-1}C_{7} = {}_{9}C_{7} = {}_{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 $$
여기서 주사위 눈의 조건(최대 6, 즉 $x',y',z' \le 5$)을 위배하는 경우를 찾아 빼야 합니다. 세 수의 합이 7이므로, 어떤 한 변수가 6이상이 되는 경우가 위배 조건입니다.
- 한 변수가 7인 경우 : $(7,0,0), (0,7,0), (0,0,7)$ $\to$ 3가지
- 한 변수가 6인 경우 : $(6,1,0)$의 배열이므로 $3!$ $\to$ 6가지
- 따라서 위배되는 경우의 수는 $3 + 6 = 9$가지입니다.
조건을 만족하는 경우의 수는 $36 - 9 = 27$가지이며, 주사위를 3번 던질 때 전체 경우의 수는 $6^3 = 216$입니다.
4가 적힌 공을 꺼냈으므로 주사위를 4번 던집니다. 나오는 눈의 수를 $a, b, c, d$라고 하면,
마찬가지로 $a' = a-1$ 등으로 치환하면, $0 \le a', b', c', d' \le 5$ 이며,
상한 조건을 무시한 음이 아닌 정수해의 총 개수는, $$ {}_{4}H_{6} = {}_{4+6-1}C_{6} = {}_{9}C_{6} = {}_{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 $$
여기서 어느 한 변수가 6이상인 경우를 제거합니다. 합이 6이므로, 특정 변수가 6이 되는 경우는 나머지 변수가 모두 0인 형태밖에 없습니다. 즉, $(6,0,0,0)$ 구조의 배열입니다.
이 구조를 배열하는 방법의 수는 $\frac{4!}{3!} = 4$가지입니다. 따라서 조건을 만족하는 경우의 수는 $84 - 4 = 80$가지입니다. 주사위를 4번 던질 때 전체 경우의 수는 $6^4 = 1296$입니다.
사건 A와 사건 B는 동시에 발생할 수 없는 배반사건이므로, 두 확률을 더해줍니다.
두 분수를 통분하기 위해 최소공배수인 540을 이용합니다.
따라서 정답은 ⑤번이며, 나형 29번의 경우 $p=540, q=47$ 이므로 $p+q = 587$이 됩니다.
3 이론 매칭
4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정
오류 : 주사위 눈의 상한선 무시
학생들이 중복조합 문제를 풀 때, 하한선 조건(예: $x \ge 1$)을 $x'=x-1 \ge 0$으로 치환하는 것에는 익숙하지만, 상한선 조건(주사위 눈은 최대 6이다, 즉 $x \le 6$)을 간과하는 실수를 빈번하게 저지릅니다.
수학적 교정 : 상한선 조건이 포함된 중복조합은 반드시 '전체 해의 개수 - 상한선을 초과하는 여사건의 개수' 의 구조(포함-배제의 원리)로 접근해야 합니다. $x \le 6$ 이므로 $x' \le 5$를 만족해야 하며, $x' \ge 6$이 되는 경우를 제거해야 정확한 계산이 이루어집니다.
5 핵심 이론 증명 : 중복조합의 칸막이 모델 (Stars and Bars)
중복조합 ${}_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r}$ 공식을 유도하는 직관적이고 논리적인 증명 방법인 '칸막이 모델'을 설명합니다.
- 방정식 $x + y + z = 7 \quad (x, y, z \ge 0)$ 의 해를 구하는 상황을 예로 들어봅시다.
- 이는 구분이 안 되는 7개의 공을 서로 다른 3개의 상자($x, y, z$)에 나누어 담는 문제와 동일합니다.
- 3개의 상자를 구분하기 위해서는 상자 사이를 나누는 2개의 칸막이($n-1$개)가 필요합니다.
- 결국, 7개의 공($r$개)과 2개의 칸막이($n-1$개)를 일렬로 나열하는 모든 경우의 수가 해의 개수와 일대일 대응됩니다.
- 총 나열해야 할 대상의 개수는 (공의 개수) + (칸막이의 개수) = $r + (n-1)$ 개입니다.
- 이 $n+r-1$ 개의 자리 중에서 공이 들어갈 $r$개의 자리를 선택하거나, 칸막이가 들어갈 $(n-1)$개의 자리를 선택하면 됩니다.
- 따라서 조합의 기호를 사용하여 다음과 같이 표현됩니다.
$$ {}_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r} = {}_{n+r-1}C_{n-1} $$
확률 수형도(Tree) 시뮬레이터
동적 확률 분할 추적 모델
- [시뮬레이션 재생] 버튼을 누르면 초기 상태에서부터 공을 뽑고 주사위를 던지는 확률적 흐름이 시각화됩니다.
- 확률 트리를 따라 이동하는 파티클은 해당 사건이 일어날 확률의 크기(기여도)를 반영합니다.
- 최종 노드(도착점)에서 도출된 확률들이 덧셈정리에 의해 병합되는 과정을 확인하세요.