20. 함수 $f(x) = \pi \sin 2\pi x$ 에 대하여 정의역이 실수 전체의 집합이고 치역이 집합 $\{0, 1\}$인 함수 $g(x)$와 자연수 $n$이 다음 조건을 만족시킬 때, $n$의 값은? [4점]
함수 $h(x) = f(nx)g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이고
이다.
이 문항은 고등학교 미적분 교과목의 정적분과 연속함수의 성질, 그리고 부분적분법을 융합하여 묻는 고난도 추론 문제입니다. 특히 함수의 치역 조건과 정적분의 최댓값을 연결하여 미지의 함수 $g(x)$의 개형을 논리적으로 확정 짓는 능력을 평가합니다.
먼저 $f(nx)$의 한 반주기 구간이 $x$축과 이루는 영역의 넓이를 계산해 봅시다. $f(nx) = \pi \sin(2\pi nx)$가 양수인 한 구간 $\left[ 0, \frac{1}{2n} \right]$ 에 대한 정적분은 다음과 같습니다.
구간 $[-1, 1]$의 길이는 $2$입니다. 이 구간 안에는 길이가 $\frac{1}{2n}$ 인 반주기 구간이 총 $4n$개 들어있습니다. 이 중 $2n$개는 양수 값을 가지는 위로 볼록한 영역이고, 나머지 $2n$개는 음수 값을 가지는 아래로 볼록한 영역입니다.
만약 함수 $h(x)$가 구간 내의 모든 양수 영역을 취하고($g(x)=1$), 음수 영역은 모두 0으로 만든다면($g(x)=0$), 정적분의 총합은 최대가 됩니다. 이때의 정적분 값은 (양수 영역 개수) $\times$ (한 영역의 넓이) 이므로,
문제의 조건에서 $\int_{-1}^{1} h(x)dx = 2$ 라고 하였으므로, 이는 이론상 가능한 정적분의 최댓값과 완벽히 일치합니다.
이 사실로부터 우리는 매우 중요한 결론을 얻습니다.
결론 : $f(nx) \ge 0$ 인 구간에서는 무조건 $g(x) = 1$ 이어야 하고, $f(nx) < 0$ 인 구간에서는 무조건 $g(x) = 0$ 이어야 합니다.
즉, $h(x)$는 $f(nx)$의 양수 부분만 남긴 함수입니다.
Step 2에 의해 $h(x)$는 $\left[ \frac{2k}{2n}, \frac{2k+1}{2n} \right]$ 꼴의 구간에서만 $h(x) = \pi \sin(2\pi nx)$ 를 가지고 나머지 구간에서는 $0$이 됩니다. 특정 정수 $k$ 번째 양수 영역에서의 적분 $I_k$ 를 구해봅시다.
다항함수 $x$와 삼각함수가 곱해져 있으므로 부분적분법을 사용합니다. $u = x$, $v' = \pi \sin(2\pi nx)$ 로 두면, $u' = 1$, $v = -\frac{1}{2n}\cos(2\pi nx)$ 입니다.
이제 정적분 구간 $\left[ \frac{2k}{2n}, \frac{2k+1}{2n} \right]$ 에 대해 대입하여 평가합니다. 삼각함수의 주기에 의해 $\sin$ 항은 양 끝점에서 모두 $0$이 됩니다.
구간 $[-1, 1]$ 내에 존재하는 양수 영역의 $k$ 범위를 찾아야 합니다. $x$의 범위가 $-1 \le x \le 1$ 이므로, 구간의 시작점 $\frac{k}{n} \ge -1$ 에서 $k \ge -n$ 입니다. 끝점 $\frac{2k+1}{2n} \le 1$ 에서 $k \le n - \frac{1}{2}$ 이므로 정수 $k$의 최댓값은 $n-1$ 입니다. 따라서 $k$는 $-n$ 부터 $n-1$ 까지 변합니다.
항의 개수는 $(n-1) - (-n) + 1 = 2n$ 개 입니다. 대칭성에 의해 $\sum\limits_{k=-n}^{n-1} k = -n$ 이 됩니다. ($-n$ 을 제외한 $-(n-1)$ 부터 $n-1$ 까지의 합은 $0$으로 소거되기 때문입니다.)
문제의 조건에 의해 이 값이 $-\frac{1}{32}$ 가 되어야 합니다.
따라서 정답은 ⑤ 16 입니다.
복잡한 부분적분을 사용하지 않고, 도형의 대칭성과 무게중심의 아이디어를 빌려오면 훨씬 직관적이고 빠르게 값을 계산할 수 있습니다.
이후의 시그마 합 과정은 Step 4와 완벽히 동일하며, 적분 계산에 소요되는 시간을 획기적으로 단축할 수 있는 수학적 통찰력을 보여줍니다.
학생들이 부분적분까지 완벽하게 계산해 놓고도 마지막 시그마 계산에서 오답을 내는 경우가 많습니다. 특히 구간 $[-1, 1]$ 내에 존재하는 양수 영역의 시작 번호 $k$를 잘못 설정하는 실수가 잦습니다. $k$가 $-n$부터 시작하여 $n-1$까지 존재함을 명확히 찾아내지 못하면 $n$에 대한 1차식이 다르게 도출됩니다.
수학적 교정 : 부등식을 세워 기계적으로 범위를 확인하는 습관이 중요합니다. 시작점의 x좌표 $\frac{k}{n} \ge -1 \implies k \ge -n$ 이고, 양수 영역의 끝점 $\frac{2k+1}{2n} \le 1 \implies k \le n-\frac{1}{2}$ 를 통해 $k$의 최댓값이 $n-1$ 임을 수학적으로 엄밀히 확정해야 합니다.
우리가 흔히 암기하고 있는 $\int_0^{\pi} \sin x dx = 2$ 라는 기본 사실이 주파수와 진폭이 변형된 함수에서 어떻게 면적으로 변환되는지 치환적분을 통해 논리적으로 증명할 수 있습니다.
$u = 2\pi nx$ 로 치환하면, $du = 2\pi n dx \implies dx = \frac{1}{2\pi n} du$ 가 됩니다.
적분 구간은 $x=0$ 일 때 $u=0$, $x=\frac{1}{2n}$ 일 때 $u=\pi$ 로 바뀝니다.
이 증명은 복잡한 삼각함수 적분을 단순한 기본형태로 치환하여 직관적으로 면적($\frac{1}{n}$)을 도출하는 정석적인 방법을 보여줍니다.
상호작용 가이드