수능 출제 분석

수열의 귀납적 정의와 다항식의 추론

Q 문제 원문

21. 수열 $\{a_n\}$은 $0 < a_1 < 1$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a_{2n} = a_2 \times a_n + 1$

(나) $a_{2n+1} = a_2 \times a_n - 2$

$a_8 - a_{15} = 63$일 때, $\frac{a_8}{a_1}$의 값은? [4점]

① 91

② 92

③ 93

④ 94

⑤ 95

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 수열의 귀납적 정의를 이해하고, 짝수항과 홀수항으로 분기되는 규칙성을 파악하여 다항식 방정식을 구성하고 해결하는 능력을 평가합니다.

주어진 초기 조건 $0 < a_1 < 1$을 부등식으로 활용하여 미지수 항($a_2$)의 부호 및 범위를 확정 짓는 논리적 추론 능력
$n$에서 $2n, 2n+1$로 파생되는 수열의 규칙을 통해 특정 항($a_8, a_{15}$)을 기본 항($a_2$)에 대한 다항식으로 표현하는 대수적 조작 능력
도출된 다항식 방정식을 풀고, 잉여근을 판별하여 정확한 해를 구하는 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1 : $n=1$ 대입 및 $a_2$의 범위 구하기

모든 자연수 $n$에 대하여 성립하므로, 가장 기본이 되는 $n=1$을 조건 (가)에 대입하여 $a_1$과 $a_2$의 관계식을 도출합니다.

a_2 = a_2 \times a_1 + 1

이를 $a_1$에 대하여 정리합니다.

a_2 \times a_1 = a_2 - 1 $$ $$ \therefore a_1 = \frac{a_2 - 1}{a_2} = 1 - \frac{1}{a_2}

문제의 첫 번째 조건인 $0 < a_1 < 1$에 위에서 구한 $a_1$을 대입합니다.

0 < 1 - \frac{1}{a_2} < 1

각 변에서 $1$을 빼고, $-1$을 곱하여 부등호 방향을 바꿉니다.

-1 < -\frac{1}{a_2} < 0 $$ $$ 0 < \frac{1}{a_2} < 1

따라서 $a_2 > 1$ 이라는 중요한 제약 조건을 확보하게 됩니다.

Step 2 : $a_8$ 과 $a_{15}$ 를 $a_2$ 에 대한 식으로 표현하기

주어진 조건 $a_8 - a_{15} = 63$ 을 이용하기 위해, 귀납적 정의를 따라 $a_8$과 $a_{15}$를 각각 전개합니다.

[ $a_8$ 의 전개 : 짝수 경로 ]

$8 = 2 \times 4$, $4 = 2 \times 2$ 이므로 모두 조건 (가)를 적용합니다.

\begin{align*} a_4 &= a_2 \times a_2 + 1 = a_2^2 + 1 \\ a_8 &= a_2 \times a_4 + 1 \\ &= a_2(a_2^2 + 1) + 1 \\ &= a_2^3 + a_2 + 1 \end{align*}

[ $a_{15}$ 의 전개 : 홀수 경로 ]

$15 = 2 \times 7 + 1$, $7 = 2 \times 3 + 1$, $3 = 2 \times 1 + 1$ 이므로 모두 조건 (나)를 적용합니다.

앞서 Step 1에서 $a_2 \times a_1 = a_2 - 1$ 임을 구했으므로 이를 활용합니다.

\begin{align*} a_3 &= a_2 \times a_1 - 2 = (a_2 - 1) - 2 = a_2 - 3 \\ a_7 &= a_2 \times a_3 - 2 = a_2(a_2 - 3) - 2 = a_2^2 - 3a_2 - 2 \\ a_{15} &= a_2 \times a_7 - 2 \\ &= a_2(a_2^2 - 3a_2 - 2) - 2 \\ &= a_2^3 - 3a_2^2 - 2a_2 - 2 \end{align*}

Step 3 : 방정식 풀이 및 $a_2$ 값 확정

도출된 두 다항식을 주어진 조건 $a_8 - a_{15} = 63$ 에 대입합니다.

$$ (a_2^3 + a_2 + 1) - (a_2^3 - 3a_2^2 - 2a_2 - 2) = 63 $$

식을 정리하면 삼차항이 소거되고 이차방정식이 됩니다.

\begin{align*} 3a_2^2 + 3a_2 + 3 &= 63 \\ 3a_2^2 + 3a_2 - 60 &= 0 \\ a_2^2 + a_2 - 20 &= 0 \\ (a_2 + 5)(a_2 - 4) &= 0 \end{align*}

방정식의 해는 $a_2 = -5$ 또는 $a_2 = 4$ 입니다. 이때 Step 1에서 $a_2 > 1$ 임을 증명했으므로,

$$ \therefore a_2 = 4 $$

Step 4 : 목표값 계산

$a_2 = 4$ 가 확정되었으므로, 구하고자 하는 $\frac{a_8}{a_1}$ 의 값을 계산하기 위해 필요한 값들을 대입하여 구합니다.

\begin{align*} a_1 &= 1 - \frac{1}{a_2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \\ a_8 &= a_2^3 + a_2 + 1 = 4^3 + 4 + 1 = 64 + 4 + 1 = 69 \end{align*}

마지막으로 비율을 계산합니다.

\frac{a_8}{a_1} = \frac{69}{\frac{3}{4}} = 69 \times \frac{4}{3} = 23 \times 4 = 92

따라서 정답은 ②번 92 입니다.

3 이론 매칭

수열의 귀납적 정의 다항식의 연산 이차방정식의 풀이 부등식의 성질

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오류 : $0 < a_1 < 1$ 조건을 무시하고 잉여근을 걸러내지 못하는 실수

방정식 $a_2^2 + a_2 - 20 = 0$ 을 풀면 $a_2 = 4$ 또는 $a_2 = -5$ 가 나옵니다. 이때 문제 도입부에 주어진 조건 $0 < a_1 < 1$ 을 초기에 분석해두지 않으면, 두 값 중 어느 것을 선택해야 할지 판단할 근거가 없어 임의로 진행하거나 계산의 늪에 빠질 수 있습니다.

수학적 증명 : $a_2 = -5$ 의 모순 (Contradiction) 만약 $a_2 = -5$ 라면, 이를 Step 1에서 유도한 $a_1$ 의 식에 대입해 봅니다.

$ a_1 = 1 - \frac{1}{a_2} $
$ a_1 = 1 - \frac{1}{-5} = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5} $

계산 결과 $a_1 = \frac{6}{5} = 1.2$ 가 도출됩니다. 하지만 이는 문제에서 최초에 주어진 조건인 $0 < a_1 < 1$ 을 위배합니다. 즉, 수학적 모순이 발생하므로 $a_2 = -5$ 는 해가 될 수 없습니다.

5 핵심 이론 증명 : 수열의 항 번호와 이진 트리(Binary Tree)

고등학교 교과 과정 내에서 '이진 트리'라는 명칭 자체를 학습하지는 않지만, 본 문항의 $a_{2n}$ 과 $a_{2n+1}$ 로 구성된 귀납적 정의는 수학적으로 완벽한 이진 분기 구조를 가집니다.

항 번호 확장의 유일성 (나눗셈 정리) :

임의의 2 이상의 자연수 $k$에 대하여, $k$를 2로 나눈 몫을 $n$, 나머지를 $r$이라고 하면 $k = 2n + r$ ($r=0$ 또는 $1$)로 유일하게 표현됩니다.
이는 $a_1$에서 출발하여 수열을 전개할 때, 짝수 번호 항($r=0$)은 왼쪽 가지로, 홀수 번호 항($r=1$)은 오른쪽 가지로 뻗어나가는 무한한 트리를 형성함을 의미합니다.

이러한 구조 덕분에 어떤 특정한 항(예 : $a_{15}$)을 구하고자 할 때, 모든 항을 순차적으로 계산할 필요 없이 $15 \to 7 \to 3 \to 1$ 이라는 유일한 경로만을 역추적하여 효율적으로 식을 세울 수 있습니다. 이는 알고리즘적 사고방식을 수열 단원에 접목한 대표적인 사례입니다.

수열 전개 경로 시각화 시뮬레이터

좌표평면 위 구조 매칭 가이드

아래 트리는 추상적인 구조이지만, 기하학적으로 해석하면 x축 방향은 짝수/홀수의 분기 위치를, y축(아래 방향)은 수열 연산의 깊이(Depth)를 나타내는 좌표계로 볼 수 있습니다.
버튼을 클릭하여 다항식 전개에 사용된 $a_8$ 과 $a_{15}$ 의 생성 경로를 확인하세요.
하이라이트 된 경로는 실제 값 계산($a_2=4, a_1=3/4$ 기준) 결과를 보여줍니다.

가 (짝수 : $2n$)

나 (홀수 : $2n+1$)

활성 노드

비활성 노드