수능 출제 분석

기하학적 상황과 삼각함수의 극한

Q 문제 원문

24. 그림과 같이 $\overline{AB}=2$, $\angle B = \frac{\pi}{2}$ 인 직각삼각형 ABC에서 중심이 A, 반지름의 길이가 1인 원이 두 선분 AB, AC와 만나는 점을 각각 D, E라 하자.

호 DE의 삼등분점 중 점 D에 가까운 점을 F라 하고, 직선 AF가 선분 BC와 만나는 점을 G라 하자.
$\angle BAG = \theta$라 할 때, 삼각형 ABG의 내부와 부채꼴 ADF의 외부의 공통부분의 넓이를 $f(\theta)$, 부채꼴 AFE의 넓이를 $g(\theta)$라 하자.
$40 \times \lim\limits_{\theta \to 0+} \frac{f(\theta)}{g(\theta)}$ 의 값을 구하시오. (단, $0 < \theta < \frac{\pi}{6}$) [3점]

2021학년도 수능 가형 24번 문제 이미지
① 50
② 55
③ 60
④ 65
⑤ 70

1 출제의도

이 문항은 고등학교 미적분 교과목의 삼각함수의 극한과 수학 I의 부채꼴의 성질을 융합하여 묻는 문항입니다. 주어진 기하학적 조건을 분석하여 도형의 넓이를 미지수 $\theta$에 대한 삼각함수 식으로 정확하게 표현해 내는 추론 능력과, $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ 의 극한 기본 성질을 활용한 연산 능력을 동시에 평가하고자 출제되었습니다.

2 상세 풀이

Step 1 : 기하학적 조건 분석 및 부채꼴의 중심각 도출

우선 우측의 시뮬레이터 좌표평면을 참고해 주십시오. 점 A를 원점 $(0,0)$으로 하고, 선분 AB를 $x$축에 놓습니다.
문제의 조건에서 $\angle BAG = \theta$ 로 주어졌습니다. 점 F는 중심이 A인 원 위의 점이므로, 부채꼴 ADF의 중심각인 $\angle DAF$ 또한 $\theta$가 됩니다.

점 F는 호 DE의 삼등분점 중 점 D에 가까운 점입니다. 따라서 원의 둘레를 따라 측정한 호의 길이의 비는 다음과 같습니다.

$$ \text{호 DF} : \text{호 FE} = 1 : 2 $$

원의 중심각의 크기는 호의 길이에 정비례합니다. 따라서 $\angle FAE$ 의 크기는 $\angle DAF$ 의 $2$배가 되어야 합니다.

$$ \angle FAE = 2 \times \angle DAF = 2\theta $$
Step 2 : 부채꼴 AFE의 넓이 \(g(\theta)\) 계산

우측 시뮬레이터에서 초록색으로 표시된 영역이 $g(\theta)$ 입니다.
반지름의 길이가 $r=1$ 이고 중심각이 $2\theta$ 인 부채꼴 AFE의 넓이 $g(\theta)$ 는 부채꼴의 넓이 공식 $S = \frac{1}{2}r^2(\text{중심각})$ 을 이용하여 쉽게 구할 수 있습니다.

$$ g(\theta) = \frac{1}{2} \times 1^2 \times (2\theta) = \theta $$
Step 3 : 공통부분의 넓이 \(f(\theta)\) 계산

우측 시뮬레이터에서 파란색으로 표시된 영역이 $f(\theta)$ 입니다.
$f(\theta)$ 는 직각삼각형 ABG의 넓이에서 부채꼴 ADF의 넓이를 뺀 값입니다.

  • 직각삼각형 ABG에서 밑변 $\overline{AB} = 2$ 이고 $\angle BAG = \theta$ 이므로, 높이 $\overline{BG} = 2\tan\theta$ 입니다. 따라서 삼각형 ABG의 넓이는 $\frac{1}{2} \times 2 \times 2\tan\theta = 2\tan\theta$ 입니다.
  • 부채꼴 ADF의 중심각은 $\theta$ 이고 반지름은 $1$ 이므로, 넓이는 $\frac{1}{2} \times 1^2 \times \theta = \frac{1}{2}\theta$ 입니다.
$$ f(\theta) = (\text{삼각형 ABG 넓이}) - (\text{부채꼴 ADF 넓이}) = 2\tan\theta - \frac{1}{2}\theta $$
Step 4 : 삼각함수의 극한 계산

이제 구하고자 하는 극한식에 $f(\theta)$ 와 $g(\theta)$ 를 대입하여 값을 계산합니다.

$$ \lim\limits_{\theta \to 0+} \frac{f(\theta)}{g(\theta)} = \lim\limits_{\theta \to 0+} \frac{2\tan\theta - \frac{1}{2}\theta}{\theta} $$

분수를 분리하여 식을 정리합니다. $\lim\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan\theta}{\theta} = 1$ 의 성질을 이용합니다.

$$ \lim\limits_{\theta \to 0+} \left( 2 \frac{\tan\theta}{\theta} - \frac{1}{2} \right) = 2(1) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

분수를 분리하여 식을 정리합니다. $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan\theta}{\theta} = 1$ 의 성질을 이용합니다.

$$ \lim_{\theta \to 0+} \left( 2 \frac{\tan\theta}{\theta} - \frac{1}{2} \right) = 2(1) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

최종적으로 문제에서 요구한 값은 이 극한값에 40을 곱한 것입니다.

$$ 40 \times \frac{3}{2} = 60 $$

따라서 정답은 ③ 60 입니다.

3 이론 매칭

부채꼴의 중심각과 호의 길이의 비례 관계 부채꼴의 넓이 직각삼각형의 삼각비 삼각함수의 극한 함수의 극한에 대한 기본 성질

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오류 : 삼등분점의 위치 해석 오류

가장 많은 학생들이 범하는 실수는 '호 DE의 삼등분점' 이라는 단어만 보고, 중심각 전체를 3등분하여 부채꼴 AFE의 중심각을 무작정 $\frac{1}{3}\theta$ 이나 전체의 일부분인 $\theta$ 로 잘못 설정하는 것입니다.

수학적 교정 : 기하학적 상황을 평면좌표 위에 모델링하고, '점 D에 가까운 점'이라는 조건의 의미를 명확히 해야 합니다. 전체 호 DE를 3등분했을 때, F는 첫 번째 눈금에 해당하므로 호 DF : 호 FE = 1 : 2 가 됩니다. 즉, $\angle DAF$ 를 알고 있다면, $\angle FAE$ 는 그 각의 2배인 $2\theta$ 가 되어야 함을 비례식을 통해 엄밀히 세워야 합니다.

5 핵심 이론 증명 : 삼각함수 극한의 기본 공식

문제 해결의 핵심 연산이었던 $\lim\limits_{x \to 0+} \frac{\tan x}{x} = 1$ 은 고등학교 미적분 교과과정에서 기하학적 넓이 비교와 샌드위치 정리(조임 정리)를 통해 증명됩니다.

증명 과정:

반지름이 $r=1$ 이고 중심각이 $x$ ($0 < x < \frac{\pi}{2}$) 인 부채꼴 OAB를 생각합시다. 점 A에서 원에 접하는 접선을 그어 반직선 OB와 만나는 점을 T라 합니다.

  • 삼각형 OAB의 넓이 $= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{1}{2}\sin x$
  • 부채꼴 OAB의 넓이 $= \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot x = \frac{1}{2}x$
  • 직각삼각형 OAT의 넓이 $= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x = \frac{1}{2}\tan x$

도형의 포함 관계에 의해 다음 부등식이 성립합니다.

$$ \frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x $$

양변을 $\frac{1}{2}\sin x$ 로 나누면 ($x$가 예각이므로 $\sin x > 0$):

$$ 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} $$

각 항의 역수를 취하면 부등호 방향이 바뀝니다:

$$ \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 $$

여기서 $x \to 0+$ 일 때 $\lim\limits_{x \to 0+} \cos x = 1$ 이므로, 샌드위치 정리에 의해 $\lim\limits_{x \to 0+} \frac{\sin x}{x} = 1$ 이 됩니다.

따라서, $\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$ 이므로 극한값은 $1 \cdot 1 = 1$ 로 완벽하게 유도됩니다.

극한 시각화 시뮬레이터

상호작용 가이드

  • 슬라이더를 움직여 중심각 \(\theta\)의 크기를 조절해보세요. \(\theta \to 0+\) 의 상황을 시뮬레이션 할 수 있습니다.
  • 파란색 영역은 문제의 \(f(\theta)\) (삼각형 내부 - 부채꼴 외부) 를 나타냅니다.
  • 초록색 영역은 문제의 \(g(\theta)\) (부채꼴 AFE) 를 나타냅니다.
  • \(\theta\)가 \(0\)에 한없이 가까워질 때, 아래 패널에서 두 넓이의 비율 \(\frac{f(\theta)}{g(\theta)}\) 가 기하학적으로 어떻게 수렴하는지 확인하세요.
  • 원점 A(0,0)을 기준으로 x축(AB)과 y축이 설정되어 있습니다.
넓이 $f(\theta)$ 0.0000
넓이 $g(\theta)$ 0.0000
비율 $\frac{f(\theta)}{g(\theta)}$ 0.00