가형 26번 / 나형 15번
원순열의 이해 및 이웃하는 조건과 이웃하지 않는 조건의 복합적 추론
Q 문제 원문
세 학생 A, B, C를 포함한 6명의 학생이 있다.
이 6명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수는?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)
(가) A와 B는 이웃한다.
(나) B와 C는 이웃하지 않는다.
1 출제의도 : 핵심 평가 역량
이 문항은 원순열에서 특정 대상을 묶음으로 처리하는 방법과, 여사건을 활용하여 복합적인 제약 조건을 논리적으로 해결하는 능력을 평가합니다.
- 이웃한다'는 조건을 해결하기 위해 대상들을 하나의 묶음으로 간주하고 원순열에 적용하는 능력
- '이웃하지 않는다'는 조건을 처리할 때, 여사건의 개념을 정확하게 사용하는 능력
- 회전 대칭성을 이해하고 중복되는 경우의 수를 올바르게 제거하는 능력
2 상세 풀이 : Step-by-Step
조건 (가) 적용 : A와 B가 이웃하는 전체 경우의 수
조건 (나)를 잠시 보류하고, 조건 (가)만 만족하는 경우의 수를 먼저 구합니다. A와 B가 이웃해야 하므로 A와 B를 하나의 묶음(블록)으로 생각합니다.
A, B를 하나의 개체로 보면 전체 인원은 5명(묶음 1개 + 나머지 4명)으로 간주할 수 있습니다. 이 5명을 원탁에 앉히는 원순열의 수는 다음과 같습니다.
여기에 묶음 내부에서 A와 B가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수를 곱해주어야 합니다.
따라서 조건 (가)를 만족하는 총 경우의 수는 $24 \times 2 = 48$ 가지입니다.
여사건 계산 : A와 B가 이웃하고, B와 C도 이웃하는 경우
조건 (나)에 의해 B와 C는 이웃하면 안 됩니다. 앞서 구한 $48$가지 중에서 B와 C가 이웃하게 되는 경우(여사건)를 빼주는 방식으로 접근합니다.
A, B가 이웃하면서 B, C도 이웃하려면, 묶음의 배치가 반드시 $A-B-C$ 이거나 $C-B-A$ 형태가 되어야만 합니다. 이를 또 다른 커다란 하나의 묶음으로 취급합니다.
- 구조 1 ($A-B-C$) : 묶음 1개와 나머지 3명(D, E, F) 총 4개를 원탁에 나열하는 수. $\implies (4 - 1)! = 3! = 6$ 가지.
- 구조 2 ($C-B-A$) : 마찬가지로 총 4개를 원탁에 나열하는 수. $\implies (4 - 1)! = 3! = 6$ 가지.
최종 정답 도출
조건 (가)를 만족하는 전체 경우의 수에서 여사건을 빼주면 두 가지 조건을 모두 만족하는 경우의 수가 도출됩니다.
따라서 실전 정답은 36이며, 선택지에서 ③번이 정답입니다.
3 이론 매칭
4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정
오류 : 여사건 기준의 혼동
학생들이 자주 범하는 오개념은 B와 C가 이웃하지 않는다는 조건에 매몰되어, 전체 6명의 원순열인 $5! = 120$에서 B와 C가 이웃하는 경우를 먼저 빼버리는 것입니다. 이렇게 계산하면 조건 (가)인 A와 B가 이웃해야 한다는 전제 조건이 무너지게 됩니다.
수학적 교정 : 우리가 구하고자 하는 집합은 $n(A \cap B^c)$ 입니다. 집합의 연산 법칙에 따라 $n(A \cap B^c) = n(A) - n(A \cap B)$ 가 성립합니다. 따라서 반드시 조건 A(A와 B가 이웃)를 만족하는 집합 안에서, 조건 B(B와 C가 이웃)가 동시에 발생하는 교집합 부분을 제거해야 합니다.
5 핵심 이론 증명 : 원순열의 공식 유도
문제 해결의 근간이 되는 원순열의 공식 $(n-1)!$ 이 성립하는 이유를 두 가지 관점에서 논리적으로 증명합니다.
- 서로 다른 $n$개의 원소를 일렬로 나열하는 직순열의 수는 $n!$ 입니다.
- 이 나열된 상태의 양 끝을 이어 원형으로 만들었을 때, 한 칸씩 회전하여 나타나는 형태들은 원순열에서는 '모두 같은 것'으로 취급합니다.
- 하나의 원형 배열에 대하여, 시계방향으로 회전시키면 총 $n$개의 중복된 배열이 직순열에 존재하게 됩니다.
- 따라서 총 경우의 수를 중복되는 횟수인 $n$으로 나누어줍니다.
$$ \frac{n!}{n} = \frac{n \times (n-1)!}{n} = (n-1)! $$
- 탁자에 $n$개의 자리가 비어 있을 때, 첫 번째 원소 $A_1$을 자리에 앉히는 경우의 수를 생각해 봅시다.
- 회전하여 일치하면 모두 같으므로, $A_1$이 어느 자리에 앉든 모두 본질적으로 1가지 경우가 됩니다.
- 이제 $A_1$이 자리에 고정되면, 기준점이 생겼으므로 나머지 자리들은 $A_1$을 기준으로 상대적인 위치(왼쪽, 오른쪽 등)를 갖게 되어 더 이상 원형 대칭성을 가지지 않습니다.
- 나머지 $(n-1)$개의 원소를 남은 $(n-1)$개의 고유한 자리에 일렬로 나열하는 것과 같습니다.
$$ 1 \times (n-1)! = (n-1)! $$
조건 추적 시뮬레이터 (2D 기하)
■ 2D 좌표평면 원순열 및 여사건 추적 모델
- [이전/다음 단계] 버튼을 통해 원탁 위에서 조건을 충족해 가는 과정을 실시간으로 관찰할 수 있습니다.
- Step 1 : A와 B가 하나의 묶음(블록)으로 결합하여 자리를 차지하는 방식을 시각화합니다.
- Step 2 : 조건(나)인 'B와 C의 이웃 금지'를 위해 B의 양옆에 붉은색 X 표시로 금지 구역(여사건 발생 통로)을 설정합니다.
- Step 3 : 금지 구역을 제외한 나머지 안전 구역에 C가 배치될 수 있는 경우를 확인합니다.