27. $\log_4 2n^2 - \frac{1}{2} \log_2 \sqrt{n}$ 의 값이 40 이하의 자연수가 되도록 하는 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. [4점]
이 문항은 고등학교 수학 I 교과목의 로그의 성질을 이용하여 주어진 식을 간단히 정리할 수 있는지 평가합니다. 나아가 정리된 로그식이 특정한 범위의 자연수가 되기 위한 조건을 분석하고, 지수법칙과 정수론적 아이디어(배수 판정 및 나머지)를 결합하여 조건을 만족하는 미지수 $n$의 개수를 논리적으로 추론해내는 능력을 묻는 문항입니다.
우선 주어진 식에 포함된 로그 항들의 밑을 $2$로 통일하여 식을 간단히 정리합니다. 우측의 시각화 시뮬레이터를 통해 이 수식이 일차함수 형태로 변환되는 과정을 시각적으로 확인할 수 있습니다.
정리된 두 항을 원래 식에 대입하여 계산합니다.
문제의 조건에 따라 위에서 정리한 식의 값이 자연수가 되어야 합니다. 이 자연수를 $k$ 라고 가정합시다. (단, $1 \le k \le 40$)
자연수 $n$을 구하기 위해 위 등식을 $\log_2 n$ 에 대하여 정리합니다. 양변에 $4$를 곱하면 분모를 없앨 수 있습니다.
우측 시뮬레이터에서 x축을 $m = \log_2 n$ 으로, y축을 $k$ 로 두었을 때 만들어지는 $k = \frac{3}{4}m + \frac{1}{2}$ 형태의 직선 그래프가 바로 이 식을 기하학적으로 표현한 것입니다.
지수의 정의에 따라 식을 $n$ 에 대하여 풀면 다음과 같습니다.
$n$ 이 자연수가 되려면 우변의 식도 자연수가 되어야 합니다. 2의 거듭제곱 꼴이 자연수가 되기 위해서는 지수인 $\frac{4k - 2}{3}$ 가 0 이상의 정수(음이 아닌 정수)가 되어야만 합니다.
편의상 $\frac{4k - 2}{3} = m$ ($m$은 0 이상의 정수) 이라고 합시다. 우측 시뮬레이터에서 x축의 좌표 $m$ 이 정수 눈금 위에 위치해야만 하는 이유가 바로 이것입니다.
$\frac{4k - 2}{3} = m$ 에서 양변에 3을 곱하면 $4k - 2 = 3m$ 이 성립합니다. 이는 $4k - 2$ 가 3의 배수여야 함을 의미합니다. 고등학교 교육과정의 정수 분류법을 활용하여 식을 분석해 보겠습니다.
자연수 $k$ 를 일반항으로 표현하면 $k = 3p + 2$ (단, $p = 0, 1, 2, \cdots$) 가 됩니다.
문제의 조건에서 수식의 값 $k$ 가 40 이하라고 하였으므로 부등식을 세웁니다.
$p$ 는 음이 아닌 정수이므로, $p$ 가 가질 수 있는 값은 $0, 1, 2, \cdots, 12$ 입니다.
이때 $p$ 의 개수는 0부터 12까지이므로 총 13개입니다. 우측 시뮬레이터의 점들을 살펴보면 조건에 맞는 점이 13개 생성되는 것을 확인할 수 있습니다.
학생들이 수식을 정리할 때 $\log_4 2n^2$ 을 $\frac{1}{2} \log_2 (2n^2)$ 로 변환한 후, 진수의 곱을 로그의 합으로 분리하는 과정에서 $\frac{1}{2}$ 곱하기를 누락하는 실수를 자주 범합니다. 즉, $\frac{1}{2}(\log_2 2 + \log_2 n^2)$ 을 계산하면서 $\frac{1}{2} \times 1 + \log_2 n^2$ 으로 잘못 전개하는 경우입니다.
수학적 교정 : 괄호를 명시적으로 사용하여 분배법칙이 모든 항에 적용됨을 확인해야 합니다. $\frac{1}{2} (\log_2 2 + 2\log_2 n) = \frac{1}{2} + \log_2 n$ 이 올바른 유도입니다.
Step 3에서 $\log_2 n = \frac{4k - 2}{3}$ 에 도달한 후, 단순히 우변이 자연수여야 한다고 직관적으로 결론을 내리고 $n$ 이 다른 소인수를 가질 가능성을 배제하는 논리적 비약이 발생할 수 있습니다.
수학적 교정 : $n$ 이 $2^a \cdot 3^b \cdots$ 형태라고 가정해봅시다. $\log_2 n = a + b\log_2 3 + \cdots$ 가 됩니다. 만약 $b \neq 0$ 이라면 $\log_2 n$ 은 무리수가 되어 식의 값 $k$ 가 유리수(자연수 포함)가 될 수 없습니다. 따라서 $n$ 은 오직 2의 거듭제곱 형태인 $2^m$ 꼴이어야만 수식이 유리수 값을 가질 수 있다는 사실을 명확히 인지해야 합니다.
문제 해결의 가장 기초가 된 공식 $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$ (단, $a>0, a \neq 1, b>0, m \neq 0$) 의 유도 과정을 살펴봅니다.
증명 과정 :
$\log_{a^m} b^n = x$ 라고 가정합시다. 로그의 정의에 의해 이를 지수 형태로 변환할 수 있습니다.
이제 양변의 지수에 $\frac{1}{n}$ 제곱을 취합니다.
이 식을 다시 로그의 정의를 사용하여 로그 형태로 변환합니다.
우리가 구하고자 하는 것은 $x$ 이므로, $x$ 에 대하여 식을 정리합니다.
처음 가정에서 $x = \log_{a^m} b^n$ 이었으므로, $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$ 가 완벽하게 증명됩니다. 본 문제에서는 $a=2, m=2, b=2n^2, n=1$ 을 대입하여 적용하였습니다.
상호작용 가이드