29. 네 명의 학생 A, B, C, D에게 검은색 모자 6개와 흰색 모자 6개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 모자끼리는 서로 구별하지 않는다.) [4점]
(가) 각 학생은 1개 이상의 모자를 받는다.
(나) 학생 A가 받는 검은색 모자의 개수는 4 이상이다.
(다) 흰색 모자보다 검은색 모자를 더 많이 받는 학생은 A를 포함하여 2명뿐이다.
이 문항은 고등학교 확률과 통계 교과목의 중복조합과 합의 법칙을 활용하는 문항입니다. 다수의 제한 조건이 걸린 상황에서, 특정 변수(A가 받는 검은색 모자의 개수)를 기준으로 논리적인 케이스 분류(배반사건)를 수행하고, 각 케이스별로 여사건과 방정식의 정수해 개수를 오류 없이 계산해 낼 수 있는 종합적 추론 능력을 평가합니다.
학생 A, B, C, D가 받는 검은색 모자의 개수를 각각 $a, b, c, d$라 하고, 흰색 모자의 개수를 각각 $x, y, z, w$라 합시다.
조건 (나)에 의해 $a \ge 4$ 입니다. 따라서 $a$가 가질 수 있는 값은 4, 5, 6입니다.
이를 기준으로 세 가지 큰 경우로 분류하여 접근합니다. 우측의 3D 시뮬레이터에서 나머지 모자 $b+c+d=k$ 의 해가 3차원 공간의 평면 위에 어떻게 분포하는지 확인할 수 있습니다.
A가 검은색 모자 6개를 모두 받는 경우입니다. 즉, $a=6$ 이며 $b=0, c=0, d=0$ 입니다.
조건 (다)를 만족하려면 검은색 모자를 흰색 모자보다 많이 받는 학생이 A를 포함하여 2명이어야 합니다.
하지만 B, C, D는 검은색 모자를 하나도 받지 못했습니다 (0개). 흰색 모자의 개수는 음수가 될 수 없으므로, B, C, D 중 그 누구도 검은색 모자가 흰색 모자보다 많을 수 없습니다.
따라서 이 경우에는 조건 (다)를 만족시킬 수 없습니다. $\implies$ 0 가지
A가 5개를 받고, 나머지 1개를 B, C, D 중 한 명이 받는 경우입니다. B가 1개를 받는다고 가정해 봅시다. ($a=5, b=1, c=0, d=0$)
남은 흰색 모자 분배를 방정식으로 세우면 다음과 같습니다.
$z' = z-1 \ge 0, w' = w-1 \ge 0$ 으로 치환하면 $x + z' + w' = 4$ 가 됩니다. 음이 아닌 정수해의 개수는 중복조합으로 구합니다.
검은색 모자 1개를 받을 사람을 B, C, D 중에서 선택하는 경우의 수가 $_3C_1 = 3$ 가지이므로,
총 경우의 수는 $3 \times 15 = \mathbf{45}$ 가지입니다.
A가 4개를 받고, 나머지 2개의 검은색 모자를 분배하는 방법은 두 가지 형태가 있습니다. 먼저, B가 2개를 모두 받는다고 가정해 봅시다. ($a=4, b=2, c=0, d=0$)
마찬가지로 (검은색 > 흰색)을 만족하는 두 번째 학생은 반드시 B여야 합니다. 즉, $2 > y$ 이므로 $y=0$ 또는 $y=1$ 입니다. C와 D는 모자를 하나 이상 받아야 하므로 $z \ge 1, w \ge 1$ 입니다.
Case 4-1. $y=0$ 인 경우
주의! 여기서 A의 조건 $a > x \implies 4 > x$ 를 확인해야 합니다. 만약 $x=4$가 되면 $4 > 4$가 되어 모순입니다.
$x=4$ 인 경우는 $x=4, z'=0, w'=0 \implies (4, 0, 1, 1)$ 의 1가지이므로 이를 제외해야 합니다.
$\therefore 15 - 1 = 14$ 가지.
Case 4-2. $y=1$ 인 경우
이때 $x$의 최댓값은 3이므로 $4 > x$ 를 항상 만족합니다.
$\therefore 10$ 가지.
B가 2개를 받는 경우의 합은 $14 + 10 = 24$ 가지이며, 2개를 받을 학생을 고르는 경우가 3가지이므로,
총 경우의 수는 $3 \times 24 = \mathbf{72}$ 가지입니다.
검은색 모자를 B와 C가 1개씩 받는다고 가정해 봅시다. ($a=4, b=1, c=1, d=0$)
조건 (다)를 위해 B와 C 중 정확히 한 명만 (검은색 > 흰색)이어야 합니다.
가정 : B가 조건을 만족하고, C는 만족하지 않는 경우
Step 4와 동일하게 $x=4$ 인 경우(A의 조건 위배) 1가지를 빼주어야 합니다. $15 - 1 = 14$ 가지.
반대로 C가 조건을 만족하고 B가 만족하지 않는 경우도 대칭성에 의해 14가지입니다.
(B와 C가 동시에 조건을 만족할 수는 없습니다. 그렇게 되면 3명이 조건을 만족하게 되기 때문입니다.)
특정 2명(B, C)이 1개씩 나누어 가졌을 때의 경우가 $14 + 14 = 28$ 가지이며, 검은색을 받지 않을 1명을 고르는 경우가 $_3C_1 = 3$ 가지이므로,
총 경우의 수는 $3 \times 28 = \mathbf{84}$ 가지입니다.
분류한 모든 배반사건의 경우의 수를 합의 법칙을 이용하여 더합니다.
따라서 정답은 ③ 201 입니다.
학생들이 중복조합 식을 세우는 데 집중하다 보면, "검은색 모자를 흰색 모자보다 더 많이 받는 학생은 A를 포함하여 2명이다"라는 조건에서 파생되는 "A는 반드시 검은색을 흰색보다 많이 받아야 한다($a > x$)"는 전제를 망각하기 쉽습니다.
수학적 교정 : Step 4와 Step 5에서 A가 검은색을 4개 받는 경우($a=4$), 흰색 모자 $x$가 가질 수 있는 최댓값을 검증해야 합니다. $x+z+w=6$ 에서 이론상 $x$는 4까지 가능하지만, $x=4$가 되면 $a > x \implies 4 > 4$가 되어 모순이 발생합니다. 따라서 전체 경우의 수에서 $x=4$가 되는 단 1가지 경우를 반드시 여사건으로 빼주어야 정답을 도출할 수 있습니다.
문제 풀이의 근간이 되는 음이 아닌 정수해의 개수 공식 ${}_n H_r = {}_{n+r-1} C _r$ 은 '별과 칸막이(Stars and Bars)' 모델을 통해 증명됩니다.
증명 과정:
$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = r$ 을 만족하는 음이 아닌 정수해를 구하는 것은, $r$개의 똑같은 공(별)을 $n$개의 구분되는 상자에 담는 것과 같습니다.
이 문제에서 흰색 모자 분배식 $x + z' + w' = 4$ 의 경우, 3개의 변수(상자)와 4개의 상수(공)가 있으므로, 칸막이는 $3-1=2$개가 필요합니다. 전체 자리는 $4+2=6$자리이며, 이 중 공 4개의 위치를 고르는 ${}_6C_4 = 15$ 로 도출되는 것입니다.
수형도 해석 가이드 및 논리 전개
1. 대분류 (A가 받는 검은색 모자 수)
조건 (나)에 의해 $a \ge 4$이므로, $a=6, 5, 4$를 기준으로 첫 가지를 뻗습니다. 이는 전체 경우를 빠짐없이 나누는 완벽한 배반사건의 기준이 됩니다.
2. 중분류 (나머지 검은색 모자의 분배 형태)
A에게 주고 남은 검은색 모자를 B, C, D에게 나누어주는 경우의 수입니다. 예를 들어 2개가 남았다면 '1명이 2개 몰아받기'와 '2명이 1개씩 나누어 갖기'로 세분화합니다.
3. 소분류 및 계산 (흰색 모자 제약조건과 조합)
조건 (다)의 '검은색>흰색' 조건을 만족할 학생을 특정하고, 남은 흰색 모자를 중복조합으로 분배합니다. 식에서 3C1은 대상자(남은 학생 3명 중 1명)를 선택하는 조합의 수입니다.
💡 마우스로 드래그하여 수형도를 이동하거나, 휠을 이용해 확대/축소하여 수치를 선명하게 확인하세요.