합성함수의 미분과 3차 함수의 개형 추론
30.
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$에 대하여
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x) = f(\sin^2 \pi x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $0 < x < 1$에서 함수 $g(x)$가 극대가 되는 $x$의 개수가 3이고, 이때 극댓값이 모두 동일하다.
(나) 함수 $g(x)$의 최댓값은 $\frac{1}{2}$이고 최솟값은 $0$이다.
$f(2) = a + b\sqrt{2}$일 때, $a^2 + b^2$의 값을 구하시오.
(단, $a$와 $b$는 유리수이다.) [4점]
이 문항은 합성함수 $y = f(h(x))$의 극대·극소 발생 원리를 파악하고, 이를 통해 겉함수 $f(x)$의 그래프 개형을 완벽하게 추론하는 능력을 평가합니다. 속함수의 치역과 증감 구간을 분석하여 겉함수의 임계점과 연결 짓는 고도의 논리력이 요구됩니다.
합성함수 $g(x) = f(\sin^2 \pi x)$에서 속함수를 $h(x) = \sin^2 \pi x$로 둡니다. 구간 $0 < x < 1$에서 $h(x)$의 변화를 분석해야 합니다.
$0 < x < 1$에서 $h'(x) = 0$이 되는 점은 $x = \frac{1}{2}$입니다.
$x$가 $0 \to \frac{1}{2}$일 때 $h(x)$는 $0 \to 1$로 증가하고, $x$가 $\frac{1}{2} \to 1$일 때 $h(x)$는 $1 \to 0$으로 감소합니다. 즉, 함수 $f(t)$의 정의역 $t$는 구간 $[0, 1]$로 제한됩니다.
함수 $g(x)$의 미분은 합성함수 미분법에 의해 다음과 같습니다.
$g'(x) = 0$을 만족하는 $x$의 값은 (1) $\sin(2\pi x) = 0$ 인 경우 ($x = \frac{1}{2}$) 이거나 (2) $f'(h(x)) = 0$ 인 경우입니다.
조건 (가)에서 극대가 되는 $x$가 3개라고 했습니다. 함수 $g(x)$가 미분가능하므로 극값은 $g'(x)=0$인 곳에서 교대로(극대-극소-극대-극소-극대) 발생해야 함을 의미하며, 총 5개의 $g'(x)=0$ 실근이 필요합니다.
$g'(x)=0$인 실근 5개의 구성 논리 :
극값은 반드시 교대로 발생하므로 극대가 3개이려면 크기순으로 나열한 5개의 근 중 1번째, 3번째, 5번째 근에서 극대여야 합니다. 즉, 정중앙인 $x = \frac{1}{2}$에서 반드시 극대를 가져야 합니다. 이를 위해 $x=1/2$ 주변에서 $g'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌어야 하고, 이는 $f'(1) > 0$임을 내포합니다.
$x_1, x_5$는 $h(x) = \alpha$일 때 발생하며 $f(t)$는 $t=\alpha$에서 극대입니다. $x_3 = 1/2$은 $h(x) = 1$일 때 발생합니다.
조건 (가)에서 "이때 극댓값이 모두 동일하다"고 하였고, 조건 (나)에서 "최댓값은 $1/2$이다"라고 하였으므로 극댓값이 곧 최댓값이 됩니다.
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(t)$는 $t=\alpha$에서 $y=1/2$에 접하고(극대), $t=1$에서 $y=1/2$과 교차해야 합니다. 따라서 함수식을 다음과 같이 세울 수 있습니다.
조건 (나)에서 최솟값이 $0$이라고 했습니다. $t \in [0, 1]$ 구간에서 $f(t)$의 최솟값 후보는 경계값인 $f(0)$과 극솟값 $f(\beta)$입니다.
$f'(t) = (t-\alpha)(3t - 2 - \alpha)$ 이므로 극소점은 $\beta = \frac{\alpha+2}{3}$ 입니다.
$\alpha \in (0, 1)$이므로 $\beta \in (\frac{2}{3}, 1)$입니다.
핵심 논리 전개 : 최솟값은 무엇인가?
만약 극솟값 $f(\beta) = 0$ 이라면, 방정식에 대입 시 $\alpha = -\frac{1}{2}$이 되어 $\alpha \in (0, 1)$ 조건에 모순이 발생합니다.
실제 $\alpha \in (0, 1)$ 범위에서 극솟값 $f(\beta) = \frac{1}{2} - \frac{4}{27}(1-\alpha)^3$ 를 계산해보면, 이 값은 항상 양수(최소 $\approx 0.35$)를 갖습니다.
따라서 구간 내에서 최솟값은 극솟값이 아니라 왼쪽 경계인 $f(0)$에서 발생합니다!
$\alpha$ 값을 찾았으므로 함수 $f(t)$가 온전히 결정되었습니다.
문제에서 요구하는 $f(2)$의 값을 계산합니다.
따라서 $a = 5$, $b = -2$ 이며,
$a^2 + b^2 = 5^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$ 입니다.
정답 | ③ 29오류 내용
많은 학생들이 "3차 함수 구간 내의 최솟값이 0이다"라는 조건(나)를 보고 습관적으로 극소점 $\beta$에서의 함숫값 $f(\beta)$를 0으로 설정해버립니다. 이 경우 $\alpha = -1/2$이 도출되어 시험 도중 심각한 혼란에 빠지게 됩니다.
정리 : $g(x) = f(h(x))$의 $x = 1/2$에서의 극값 판정
본 풀이 Step 2에서 $x=1/2$일 때 무조건 극대가 되어야 한다고 서술했습니다. 그 이유를 엄밀히 증명합니다.
i 시뮬레이터 활용 가이드 : 합성함수 매핑 관찰
[동작 원리] 아래 $x$ 슬라이더를 움직이면, 좌측 속함수 $h(x)=\sin^2 \pi x$의 결괏값이 초록색 점선을 따라 우측 겉함수 $f(t)$의 입력값(t축)으로 전달되는 것을 볼 수 있습니다.
[조건 (가) 시각화] $x$가 $0 \to 1$로 커질 때 $t$값은 $0 \to 1 \to 0$으로 왕복 운동을 합니다. 이 왕복 과정에서 우측 겉함수의 극대점($\alpha$)을 두 번 지나고, 정중앙($x=0.5, t=1$)에서 반환점을 돌며 1/2에 도달합니다. 결과적으로 합성함수는 극대점이 3번 발생하는 구조가 됨을 직관적으로 확인할 수 있습니다.
[조건 (나) 시각화] 극대 위치 $\alpha$ 슬라이더를 조작해 보세요. $\alpha \approx 0.71$ ($1/\sqrt{2}$)일 때만 왼쪽 끝 경계인 $f(0)$이 정확히 0이 되어 최솟값 0 조건을 만족합니다. (우측의 극솟값은 결코 0이 될 수 없음을 눈으로 직접 확인하세요!)