삼각함수의 기본 성질을 활용한 최댓값 추론
함수 $f(x) = 4\cos x + 3$ 의 최댓값은? [3점]
이 문항은 코사인 함수의 치역을 이해하고, 실배수 및 평행이동에 따른 함수의 최댓값과 최솟값의 변화를 추론하는 능력을 평가합니다.
문제 해결의 첫 출발점은 삼각함수의 가장 기본적인 성질을 파악하는 것입니다. 실수 전체의 집합에서 정의된 코사인 함수 $y = \cos x$ 는 단위원 위의 $x$ 좌표를 의미하므로, 그 값이 가질 수 있는 범위 즉, 치역은 정해져 있습니다.
함수 $f(x)$ 에는 $\cos x$ 앞에 $4$ 가 곱해져 있습니다. 이는 부등식의 각 변에 양수 $4$ 를 곱하는 것과 같으므로 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다. 기하학적으로는 그래프의 위아래 진폭이 $4$ 배로 늘어나는 것을 의미합니다.
마지막으로 주어진 함수는 $4\cos x$ 에 $3$ 이 더해진 형태입니다. 이는 부등식의 각 변에 $3$ 을 더하는 것과 같으며, 기하학적으로는 그래프를 y축 방향으로 $3$ 만큼 평행이동하는 것을 의미합니다.
따라서 함수 $f(x)$ 가 가질 수 있는 가장 큰 값인 최댓값은 $7$ 이며, 정답은 선택지 ②번입니다.
$x$ 의 범위가 주어지지 않았다고 해서 함수를 다루지 못하거나, 임의의 특정 각도(예 : $30^\circ, 45^\circ$)만을 대입하여 최댓값을 추측하려다 오류를 범하는 경우입니다.
해결 : 삼각함수에서 정의역 $x$ 는 호도법으로 표현된 '실수 전체'를 의미하며, 치역은 항상 닫힌 구간 $[-1, 1]$ 내에 존재함을 명확히 인지해야 합니다.
식을 $4\cos(x + 3)$ 처럼 $x$ 축 방향의 평행이동으로 잘못 읽어, 치역에 변화가 없고 최댓값을 $4$ 로 잘못 판단하는 시각적 인지 오류가 발생할 수 있습니다.
해결 : 연산자의 우선순위를 확인해야 합니다. $4\cos x$ 가 한 묶음이며, 그 함숫값 전체에 $3$ 이 더해지는 구조이므로 $y$ 축 방향의 평행이동임을 확인해야 합니다.
문제 해결에 사용된 논리를 확장하여, 일반적인 삼각함수 $f(x) = a\cos(bx+c) + d$ (단, $a \neq 0, b \neq 0$) 의 최댓값과 최솟값을 구하는 공식을 부등식의 성질을 이용해 증명해 봅시다.
■ 시뮬레이터 조작 가이드
함수 $y = A\cos x + C$ 에서 진폭 $A$ 와 $y$ 축 평행이동 $C$ 를 조절해보세요. 그래프의 변화와 함께 최댓값과 최솟값이 어떻게 바뀌는지 실시간으로 확인할 수 있습니다.
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