경우의 수와 수학적 확률의 계산
8. 한 개의 주사위를 세 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 $a, b, c$라 할 때, $a \times b \times c = 4$일 확률은? [3점]
이 문항은 시행과 사건의 의미를 이해하고, 조건에 맞는 근원사건의 개수를 체계적으로 구하여 수학적 확률을 계산하는 능력을 평가합니다.
한 개의 주사위를 던질 때 나올 수 있는 눈의 수는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 으로 총 $6$가지입니다. 이 주사위를 '세 번' 던지므로, 곱의 법칙에 의해 전체 표본공간 $S$ 의 원소의 개수 $n(S)$ 는 다음과 같습니다.
사건 $A$ 를 '$a \times b \times c = 4$' 라고 합시다. $a, b, c$ 는 $1$ 부터 $6$ 까지의 자연수이므로, 곱해서 $4$ 가 되는 세 자연수의 조합을 찾아야 합니다. $4$ 를 소인수분해하면 $2^2$ 입니다. 이를 세 자연수의 곱으로 나타내는 방법은 다음과 같이 두 가지 경우로 분류할 수 있습니다.
주사위를 차례로 던지므로, 결과가 나오는 '순서'가 다르면 다른 경우로 취급해야 합니다. 따라서 각 숫자의 구성별로 나열하는 경우의 수를 구합니다.
경우 1 : $\{1, 1, 4\}$ 를 배열하는 경우의 수
$(1, 1, 4), (1, 4, 1), (4, 1, 1)$ 로 총 3가지입니다. (같은 것이 있는 순열 : $\frac{3!}{2!} = 3$)
경우 2 : $\{1, 2, 2\}$ 를 배열하는 경우의 수
$(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$ 로 총 3가지입니다. (같은 것이 있는 순열 : $\frac{3!}{2!} = 3$)
두 경우는 동시에 일어날 수 없으므로, 합의 법칙에 의해 사건 $A$ 가 일어나는 전체 경우의 수 $n(A)$ 는 $3 + 3 = 6$ 입니다.
따라서 구하는 확률은 $\frac{1}{36}$ 이며, 정답은 선택지 ②번입니다.
학생들이 흔히 범하는 실수는 $\{1, 1, 4\}$ 와 $\{1, 2, 2\}$ 두 가지 구성만 찾은 후, 경우의 수를 $2$가지로 단정 짓고 확률을 $\frac{2}{216} = \frac{1}{108}$ 로 오답을 내는 것입니다.
해결 : 확률 계산에서 근원사건은 '차례로' 나오는 모든 결과를 순서쌍 $(a, b, c)$ 로 취급해야 합니다. $(1, 1, 4)$ 와 $(1, 4, 1)$ 은 물리적으로 완전히 다른 시행 결과입니다.
$4 = 1 \times 4$ 에만 집중하여 $\{1, 1, 4\}$ 배열 $3$가지만 찾고, $4 = 2 \times 2$ 에서 파생되는 $\{1, 2, 2\}$ 구성을 누락하여 확률을 $\frac{3}{216}$ 으로 계산하는 실수입니다.
해결 : 특정 수가 되는 조합을 찾을 때는 반드시 소인수분해를 먼저 수행하여 $4 = 2^2$ 임을 확인하고, $1$은 언제든지 곱해질 수 있다는 점을 상기하여 체계적으로 분류해야 합니다.
수학적 확률 $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ 를 사용하기 위한 대전제는 '표본공간의 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같아야 한다'는 것입니다. 주사위 문제에서 이 성질이 어떻게 유지되는지 확인해봅시다.
■ 시뮬레이터 조작 가이드
$a, b, c$ 3개의 주사위가 만드는 입체적 표본 공간( $6 \times 6 \times 6$ )을 2D 단면으로 잘라서 보여줍니다. 세 번째 주사위 $c$ 의 눈을 슬라이더로 변경해보세요.
※ 격자는 $a$ (가로축)와 $b$ (세로축)의 결과를 나타내며, 조건 $a \times b \times c = 4$ 를 만족하는 칸은 초록색으로 빛납니다.