수능 출제 분석

순열을 이용한 수학적 확률 계산

Q 문제 원문

문자 A, B, C, D, E가 하나씩 적혀 있는 5장의 카드와 숫자 1, 2, 3, 4가 하나씩 적혀 있는 4장의 카드가 있다. 이 9장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 문자 A가 적혀 있는 카드의 바로 양옆에 각각 숫자가 적혀 있는 카드가 놓일 확률은? [3점]

① $\frac{1}{12}$

② $\frac{5}{36}$

③ $\frac{1}{6}$

④ $\frac{7}{36}$

⑤ $\frac{2}{9}$

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 사건이 일어날 모든 경우의 수와 특정 조건이 주어졌을 때의 경우의 수를 순열을 이용하여 계산하고, 이를 바탕으로 수학적 확률을 구할 수 있는지를 평가합니다.

서로 다른 대상을 일렬로 나열하는 순열($n!$)의 개념 이해 및 적용
특정 요소가 이웃하는 조건을 만족하는 경우의 수를 논리적으로 분할하여 계산하는 능력
수학적 확률의 정의를 정확히 이해하고 분수 형태로 도출하는 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1 : 일어날 수 있는 모든 경우의 수 계산

문자 카드 5장과 숫자 카드 4장, 총 9장의 카드를 일렬로 임의로 나열합니다. 서로 다른 9개를 일렬로 나열하는 모든 경우의 수를 표본공간 $S$의 원소의 개수 $n(S)$라고 합시다.

$$ n(S) = 9! $$

[참고도 1 : 9장의 카드를 나열하는 빈칸]

Step 2 : 조건에 맞는 '묶음' 생성하기

구하고자 하는 특정 사건을 $E$라고 합시다. 사건 $E$는 '문자 A 카드 양옆에 숫자 카드가 놓이는 사건'입니다. 이를 처리하기 위해 (숫자 - A - 숫자)를 하나의 묶음(블록)으로 생각해야 합니다.

숫자 카드 4장(1, 2, 3, 4) 중에서 2장을 선택하여 A 카드의 왼쪽과 오른쪽에 일렬로 나열하는 경우의 수를 구합니다. 순서가 다르면 다른 배치가 되므로 순열을 사용합니다.

{}_4\mathrm{P}_2 = 4 \times 3 = 12

[참고도 2 : A 양옆에 숫자 카드를 배치하여 묶음 생성]

Step 3 : 묶음과 남은 카드 나열하기

Step 2에서 만든 (숫자 - A - 숫자) 묶음을 1개의 덩어리로 취급합니다.
전체 9장의 카드 중 묶음에 3장이 사용되었으므로, 남은 카드는 6장입니다 (문자 B, C, D, E와 남은 숫자 2장). 따라서 묶음 1개와 남은 카드 6장을 합쳐 총 7개의 대상을 일렬로 나열해야 합니다.

$$ 7! $$

그러므로 사건 $E$가 일어나는 전체 경우의 수는 곱의 법칙에 의해 다음과 같습니다.

n(E) = {}_4\mathrm{P}_2 \times 7! = 12 \times 7!

[참고도 3 : 묶음과 나머지 개별 카드의 나열]

Step 4 : 확률 계산

수학적 확률의 정의에 따라 확률 $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ 를 계산합니다.

P(E) = \frac{12 \times 7!}{9!}

팩토리얼의 성질 $9! = 9 \times 8 \times 7!$ 을 이용하여 약분합니다.

P(E) = \frac{12 \times 7!}{9 \times 8 \times 7!} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}

[참고도 4 : 약분 과정의 시각화]

$12 \times \not{7!}$ $9 \times 8 \times \not{7!}$

$=$

$12$ $72$

$=$

1 6

따라서 정답은 ③번 $\frac{1}{6}$ 입니다.

3 이론 매칭

순열 이웃하는 순열의 수 수학적 확률 곱의 법칙

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오류 1 : 조합($\mathrm{C}$)과 순열($\mathrm{P}$)의 혼동

학생들이 A 양옆에 숫자를 배치할 때, "숫자 4개 중 2개를 고른다"는 생각에만 머물러 조합(${}_4\mathrm{C}_2$)만을 계산하고 끝내는 실수를 자주 범합니다.

\text{오류 식 : } n(E) = \mathbf{{}_4\mathrm{C}_2} \times 7! = 6 \times 7! \quad \text{(X)}

수학적 교정 : 선택된 2개의 숫자 카드가 A의 '왼쪽'에 놓이느냐, '오른쪽'에 놓이느냐에 따라 나열된 결과가 다릅니다. (예: 1-A-2 와 2-A-1 은 다름). 따라서 자리를 바꾸는 경우의 수 $2!$ 을 곱해주어야 합니다. 즉, ${}_4\mathrm{C}_2 \times 2! = {}_4\mathrm{P}_2$ 가 올바른 식입니다.

오류 2 : 남은 카드의 개수 산정 오류

(숫자-A-숫자) 묶음을 만든 후, 남은 개별 대상을 헤아릴 때 이미 묶음에 들어간 숫자 카드 2장을 빼지 않고 "숫자 카드 4장 + 문자 4장 = 8장"으로 잘못 계산하는 경우가 있습니다.

\text{오류 식 : } n(E) = {}_4\mathrm{P}_2 \times \mathbf{9!} \quad \text{혹은} \quad {}_4\mathrm{P}_2 \times \mathbf{8!} \quad \text{(X)}

수학적 교정 : 전체 9장의 카드 중에서 묶음에 정확히 3장(문자 A 1장, 숫자 2장)이 사용되었습니다. 따라서 묶음 밖에 있는 카드는 $9 - 3 = 6$ 장이며, 이 6장과 묶음 1개를 합하여 총 7개의 단위를 나열해야 하므로 $7!$ 을 곱해야 합니다.

5 핵심 이론 증명 : 순열과 수학적 확률

1. 순열 ${}_n\mathrm{P}_r$ 의 도출 과정

서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수를 ${}_n\mathrm{P}_r$ 이라 합니다. 이는 곱의 법칙으로 유도됩니다.

첫 번째 자리에 올 수 있는 대상의 수는 $n$개
두 번째 자리에 올 수 있는 대상의 수는 이미 선택된 1개를 제외한 $(n-1)$개
세 번째 자리에 올 수 있는 대상의 수는 $(n-2)$개
$\dots$
$r$번째 자리에 올 수 있는 대상의 수는 $(n-(r-1)) = (n-r+1)$개

{}_n\mathrm{P}_r = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times (n-r+1)

이를 팩토리얼 기호를 사용하여 수학적으로 깔끔하게 표현하기 위해 분모와 분자에 $(n-r)!$ 을 곱해줍니다.

\begin{aligned} {}_n\mathrm{P}_r &= \frac{n \times (n-1) \times \dots \times (n-r+1) \times (n-r) \times \dots \times 1}{(n-r) \times (n-r-1) \times \dots \times 1} \\ &= \frac{n!}{(n-r)!} \end{aligned}

2. 수학적 확률의 정의

어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합인 표본공간 $S$가 유한개의 원소로 이루어져 있고, 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같다고 기대될 때, 사건 $A$가 일어날 확률 $P(A)$는 다음과 같이 정의됩니다.

P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{\text{사건 A가 일어나는 경우의 수}}{\text{일어날 수 있는 모든 경우의 수}}

본 문항에서는 카드를 '임의로' 나열하므로 9! 가지의 각 배치가 일어날 가능성이 모두 동등합니다. 따라서 수학적 확률의 정의를 엄밀하게 적용할 수 있습니다.

조건 부합 판별 시뮬레이터

무작위 배열 시각화 및 검증

하단의 무작위 배열 섞기 버튼을 클릭하여 9장의 카드를 임의로 배치해 보세요.
문자 A를 찾아 그 양옆에 놓인 카드가 숫자인지 자동으로 판별합니다.
조건을 만족하면 묶음이 초록색으로 하이라이트됩니다.
이러한 시뮬레이션을 무한히 반복했을 때, 성공 횟수의 비율이 대수의 법칙에 의해 이론적 확률 $\frac{1}{6}$ (약 16.67%)에 수렴하게 됩니다.

현재 상태 대기 중

시뮬레이션 누적 성공률 0 / 0 (0.0%)

1D Array Position (x축) & Status (y축)