수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t(t \ge 0)$에서의 속도 $v(t)$가
이다. 점 P가 시각 $t=3$에서 $t=k(k>3)$까지 움직인 거리가 25일 때, 상수 $k$의 값은? [4점]
이 문항은 속도 함수의 절댓값을 정적분하여 물체가 움직인 거리를 계산할 수 있는지를 평가합니다.
움직인 거리를 구하기 위해서는 적분 구간에서 속도 $v(t)$의 부호를 먼저 확인해야 합니다. 주어진 속도 함수는 $v(t) = 2t - 6$ 입니다. 문제에서 요구하는 시각의 구간은 $t=3$ 부터 $t=k$ 까지이며, $k > 3$ 이라는 조건이 주어졌습니다.
$t > 3$ 일 때, $2t > 6$ 이므로 $2t - 6 > 0$ 이 성립합니다. 즉, 해당 구간에서 속도 $v(t)$는 항상 양수입니다.
시각 $t=a$ 에서 $t=b$ 까지 점 P가 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분하여 구합니다. 이를 수식으로 나타내면 $\int_{a}^{b} |v(t)| dt$ 입니다.
시각 $t=3$ 에서 $t=k$ 까지 움직인 거리가 25라고 하였으므로 식을 세우면 다음과 같습니다.
Step 1에서 확인했듯이 구간 $[3, k]$ 에서 $2t - 6 \ge 0$ 이므로, 절댓값 기호를 그대로 벗길 수 있습니다.
이제 정적분을 직접 계산해 봅시다. $2t - 6$ 의 부정적분은 $t^2 - 6t$ 입니다.
계산 결과가 완전제곱식 형태가 됩니다. 움직인 거리가 25이므로 방정식을 세웁니다.
방정식을 풀면 $k - 3 = 5$ 또는 $k - 3 = -5$ 입니다. 문제의 조건에서 $k > 3$ 이라 하였으므로 $k - 3 > 0$ 이어야 합니다. 따라서 $k - 3 = 5$ 가 성립합니다.
적분값이 아닌 기하학적 넓이 공식 $S = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2} (k-3) \{2(k-3)\} = (k-3)^2$ 로도 직관적인 풀이가 가능합니다.
학생들이 자주 범하는 실수는 '움직인 거리'를 구하라는 문제에서 무작정 속도 함수를 절댓값 없이 적분하는 것입니다. 만약 속도의 부호가 바뀌는 구간이 존재한다면, 단순 적분 값은 '위치의 변화량'을 나타내게 되어 오답이 도출됩니다.
수학적 교정 : 본 문항에서는 다행히 적분 구간 $t \in [3, k]$ 에서 $v(t) = 2t - 6 \ge 0$ 이므로 두 값의 결과가 우연히 같게 나옵니다. 하지만 서술형이나 보다 복잡한 문제(속도 부호가 바뀌는 경우)를 대비하여 항상 절댓값을 씌워 넓이를 구한다는 개념을 명확히 가져야 합니다.
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$에서의 위치를 $x(t)$라 하면, 속도 $v(t)$는 위치 함수의 도함수입니다. 즉, $v(t) = \frac{d}{dt}x(t)$ 또는 $x'(t) = v(t)$ 입니다.
미적분의 기본 정리에 의하여 시각 $t=a$에서 $t=b$까지의 위치의 변화량은 다음과 같습니다.
반면, 물체가 실제로 움직인 총 거리 $s$는 물체가 진행 방향을 바꿀 때(즉, $v(t)$의 부호가 바뀔 때) 각 구간별 이동 거리의 양의 합으로 구해야 합니다. 속력은 속도의 크기인 $|v(t)|$로 정의되므로, 미소 시간 $dt$ 동안 이동한 미소 거리는 $ds = |v(t)|dt$ 가 됩니다. 따라서 이를 누적 합산한 것이 전체 움직인 거리입니다.
이 개념은 기하학적으로 $y = v(t)$ 의 그래프와 $t$축, 그리고 $t=a$, $t=b$ 로 둘러싸인 부분의 '넓이'를 구하는 것과 완벽히 동치입니다.
기하학적 의미 시각화