16. $0 \le x < 4\pi$일 때, 방정식
의 모든 해의 합은? [4점]
이 문항은 삼각함수의 각의 변환 성질을 활용하여 식을 정리하고, 주어진 구간에서 삼각방정식의 해를 그래프의 대칭성을 이용하여 도출할 수 있는지를 평가합니다.
방정식을 풀기 위해서는 삼각함수의 종류를 하나로 통일해야 합니다. 주어진 식에 있는 $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)$를 사인함수로 변환합니다.
일반각에 대한 삼각함수의 성질에 의하여 다음이 성립합니다.
Step 1의 결과를 주어진 원래 방정식에 대입하여 식을 정리합니다.
이 식은 $\sin x$ 에 대한 이차방정식입니다. 인수분해를 진행합니다.
따라서 $\sin x = \frac{1}{2}$ 또는 $\sin x = -\frac{3}{2}$ 를 얻습니다.
이때, 모든 실수 $x$ 에 대하여 사인함수의 치역은 $-1 \le \sin x \le 1$ 이므로, $\sin x = -\frac{3}{2}$ 는 성립할 수 없습니다.
문제에서 요구하는 $x$ 의 범위는 $0 \le x < 4\pi$ 입니다. 이 구간 안에서 방정식 $\sin x = \frac{1}{2}$ 의 해를 구해야 합니다. 이는 2D 좌표평면에서 함수 $y = \sin x$ 의 그래프와 직선 $y = \frac{1}{2}$ 의 교점의 $x$ 좌표를 찾는 것과 같습니다.
방법 A : 대칭성을 이용한 직관적 풀이 (추천)
사인함수는 각 봉우리마다 선대칭 도형을 이룹니다. $0 \le x < 2\pi$ 구간에서 두 근을 $x_1, x_2$라 하면, 이들은 선 $x = \frac{\pi}{2}$ 에 대하여 대칭입니다. 따라서 중점 조건에 의해 $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{\pi}{2}$ 즉, $x_1 + x_2 = \pi$ 가 됩니다.
마찬가지로 $2\pi \le x < 4\pi$ 구간에서의 두 근 $x_3, x_4$ 는 선 $x = \frac{5\pi}{2}$ 에 대하여 대칭이므로, $\frac{x_3 + x_4}{2} = \frac{5\pi}{2}$ 즉, $x_3 + x_4 = 5\pi$ 가 성립합니다.
방법 B : 특수각을 이용한 직접 계산
$\sin x = \frac{1}{2}$ 을 만족하는 특수각은 $x = \frac{\pi}{6}$ 입니다. 주어진 구간 내의 모든 실근을 나열하면 다음과 같습니다.
이들의 합을 구하면 $\frac{\pi + 5\pi + 13\pi + 17\pi}{6} = \frac{36\pi}{6} = 6\pi$ 와 같이 동일한 결과를 얻습니다.
이차방정식을 풀고 나서 나온 해 $\sin x = -\frac{3}{2}$ 를 무심코 인정하여, 방정식이 해를 갖지 않는다고 착각하거나, 잘못된 대칭축을 적용하여 오답을 내는 경우가 많습니다.
수학적 교정 : 치환을 할 때에는 반드시 치환된 변수의 제한 변역을 명시하는 습관을 가져야 합니다. $t = \sin x$ 로 치환했다면 즉시 $-1 \le t \le 1$ 임을 적어두어야 무연근을 걸러낼 수 있습니다.
문제를 급하게 읽어 $0 \le x < 2\pi$ 인 기본 주기로만 착각하여 $\pi$ 만을 정답으로 도출하는 실수입니다.
수학적 교정 : 문제의 서두에 제시되는 정의역 $0 \le x < 4\pi$ (2개의 주기)는 그래프를 그릴 때 x축의 길이를 결정하는 가장 중요한 요소입니다. 실전에서는 이 조건에 밑줄을 긋고 주기 $2\pi$ 가 몇 번 반복되는지 시각화하여 확인해야 합니다.
단위원(반지름이 1인 원) 위의 점을 이용하여 삼각함수를 정의할 수 있습니다. 2D 좌표평면에서 x축의 양의 방향을 시초선으로 하고 각 $\theta$ 를 나타내는 동경이 단위원과 만나는 점을 $P$ 라고 하면, $P$ 의 좌표는 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 입니다.
이제 이 동경을 원점을 중심으로 양의 방향(반시계 방향)으로 $\frac{\pi}{2}$ (90도)만큼 회전시킨 새로운 동경이 단위원과 만나는 점을 $P'$ 라고 합시다. 이 점이 나타내는 각은 $\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)$ 이므로, $P'$ 의 좌표는 $\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right), \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)\right)$ 가 됩니다.
기하학적으로 점 $P(a, b)$ 를 원점 중심으로 $90^\circ$ 회전 이동시키면 그 좌표는 $(-b, a)$ 가 됩니다. (이는 두 점을 빗변으로 하는 직각삼각형이 서로 합동이며, x축과 y축의 역할이 바뀌고 사분면이 달라짐에 따라 부호가 변하기 때문입니다.)
따라서 $P'$ 의 좌표 표현 두 가지를 비교하면 다음 항등식을 얻습니다.
(참고 : 고등학교 심화수학 과정인 '미적분'의 삼각함수의 덧셈정리 $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ 를 이용하여 $\alpha = \frac{\pi}{2}, \beta = \theta$ 를 대입하면 대수적으로도 쉽게 증명 가능합니다.)
기하학적 조건과 변수 변화