수능 출제 분석

미정계수의 결정과 곱의 미분법

Q 문제 원문

17. 두 다항함수 $f(x), g(x)$가

\lim_{x \to 0} \frac{f(x)+g(x)}{x} = 3, $$ $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)+3}{x g(x)} = 2

를 만족시킨다. 함수 $h(x) = f(x)g(x)$에 대하여 $h'(0)$의 값은? [4점]

① 27

② 30

③ 33

④ 36

⑤ 39

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 함수의 극한에 대한 기본 성질을 이해하고, 미정계수법과 미분계수의 정의, 그리고 다항함수의 곱의 미분법을 복합적으로 활용하여 문제를 해결할 수 있는지를 평가합니다.

$\frac{0}{0}$ 꼴의 함수의 극한에서 분모가 $0$ 으로 수렴할 때 분자도 $0$ 으로 수렴해야 한다는 극한의 성질 이해
다항함수의 연속성을 이용한 함숫값과 극한값의 일치 확인
극한식을 미분계수의 정의 형태에 맞게 식을 조작하는 능력
함수의 곱의 미분법 공식을 정확히 적용하여 도함수를 구하는 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1 : 첫 번째 극한식 분석과 미정계수 결정

주어진 첫 번째 조건은 다음과 같습니다.

\lim_{x \to 0} \frac{f(x)+g(x)}{x} = 3

위 극한식에서 $x \to 0$ 일 때, 분모인 $x \to 0$ 이고 극한값이 $3$ 으로 존재합니다. 함수의 극한에 대한 성질에 의하여 분모가 $0$ 으로 수렴하고 극한값이 존재하면 분자도 $0$ 으로 수렴해야 합니다.

\lim_{x \to 0} \{f(x) + g(x)\} = 0

$f(x)$ 와 $g(x)$ 는 다항함수이므로 모든 실수에서 연속입니다. 따라서 극한값과 함숫값이 동일하므로 다음 식을 얻습니다.

$$ f(0) + g(0) = 0 $$

또한, 위 식을 미분계수의 정의를 활용하여 다시 쓸 수 있습니다. 다항함수는 미분가능하므로 $f(0)+g(0) = 0$ 임을 이용하면,

\lim_{x \to 0} \frac{\{f(x)+g(x)\} - \{f(0)+g(0)\}}{x - 0} = 3 $$ $$ \Rightarrow f'(0) + g'(0) = 3

[참고도 1 : 원점에서의 접선의 기울기와 미분계수의 기하학적 의미]

함수 $y = f(x)+g(x)$의 그래프가 원점을 지날 때, $x=0$에서의 미분계수 $f'(0)+g'(0)$은 기하학적으로 원점에서의 접선의 기울기(기울기=3)를 의미합니다. 다항함수의 극한과 미분계수의 정의가 시각적으로 어떻게 연결되는지 보여줍니다.

Step 2 : 두 번째 극한식 분석과 미분계수 산출

두 번째 극한식은 다음과 같습니다.

\lim_{x \to 0} \frac{f(x)+3}{x g(x)} = 2

마찬가지로 $x \to 0$ 일 때, 분모 $x g(x) \to 0 \cdot g(0) = 0$ 이고 극한값이 존재하므로, 분자 역시 $0$ 으로 수렴해야 합니다. 다항함수 연속성에 의해 극한값은 함숫값입니다.

\lim_{x \to 0} \{f(x)+3\} = 0 \Rightarrow f(0) + 3 = 0 $$ $$ \therefore f(0) = -3

Step 1에서 구한 $f(0) + g(0) = 0$ 에 대입하면 $g(0) = 3$ 임을 알 수 있습니다. 이제 두 번째 극한식을 미분계수의 형태가 나오도록 식을 변형해 봅시다.

\lim_{x \to 0} \left\{ \frac{f(x) - (-3)}{x - 0} \times \frac{1}{g(x)} \right\} = 2

$f(0) = -3$ 이므로 $f(x)-(-3)$ 은 $f(x)-f(0)$ 이 됩니다. $\lim_{x \to 0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{g(0)} = \frac{1}{3}$ 로 수렴하므로, 극한의 기본 성질을 사용하여 극한을 분리할 수 있습니다.

\left( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \right) \times \left( \lim_{x \to 0} \frac{1}{g(x)} \right) = 2 $$ $$ f'(0) \times \frac{1}{3} = 2 $$ $$ \therefore f'(0) = 6

Step 1의 결과인 $f'(0) + g'(0) = 3$ 에 $f'(0) = 6$ 을 대입하면, $g'(0) = -3$ 임을 계산할 수 있습니다.

Step 3 : 곱의 미분법을 활용한 최종 정답 계산

새로운 함수 $h(x) = f(x)g(x)$ 에 대하여 $h'(0)$ 의 값을 구해야 합니다. 두 다항함수의 곱의 미분법 공식을 적용하면 다음과 같습니다.

$$ h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$

$x = 0$ 을 대입하여 앞서 구한 값들을 대입합니다. (구한 값 : $f(0)=-3, g(0)=3, f'(0)=6, g'(0)=-3$)

h'(0) = f'(0)g(0) + f(0)g'(0) $$ $$ h'(0) = (6 \times 3) + (-3 \times -3) $$ $$ h'(0) = 18 + 9 = 27

[참고도 2 : 미분계수값의 성분 비교]

3 이론 매칭

함수의 극한에 대한 성질 미정계수의 결정 ($0/0$ 꼴) 함수의 연속성 미분계수의 정의 함수의 곱의 미분법

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오류 1 : 극한의 분리 조건 간과

Step 2에서 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-(-3)}{x} \cdot \frac{1}{g(x)}$ 를 계산할 때, 무작정 분리하여 곱하는 것은 오류가 될 수 있습니다. 함수의 극한에 대한 성질에 따라 두 식이 각각 수렴한다는 전제 조건이 있어야 극한 기호를 쪼갤 수 있습니다.

수학적 교정 : $g(0) = 3 \neq 0$ 이므로 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{3}$ 으로 수렴함이 보장됩니다. 따라서 극한 성질을 안심하고 적용하여 분리할 수 있음을 서술 논리에 포함하는 습관이 필요합니다.

오류 2 : 몫의 미분법을 무리하게 사용하려는 실수

(참고: 고등학교 심화수학 미적분 과정) 일부 학생들은 분수 형태의 극한식을 보고 로피탈의 정리나 몫의 미분법으로 접근하여 복잡한 수렁에 빠지기도 합니다. $x \cdot g(x)$ 를 미분하면 $g(x) + x g'(x)$ 가 되어 $x=0$ 일 때 $g(0)$ 이 되지만 과정이 번거롭습니다.

수학적 교정 : 미분계수의 기본 정의 형태인 $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 먼저 만들어 내는 것이 수능 수학 나형(수학2)의 핵심적인 평가 의도입니다. 정의에 입각하여 식을 조작하는 훈련을 하세요.

5 핵심 이론 증명 : 함수의 곱의 미분법

$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ 의 유도 과정

함수 $h(x) = f(x)g(x)$ 라고 합시다. 도함수의 정의에 의하여 $h'(x)$ 를 구합니다.

h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x}

분자에 $f(x)g(x+\Delta x)$ 를 빼고 더해주어 식을 변형합니다. (이 기법은 미분법 유도의 핵심적인 아이디어입니다.)

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) \mathbf{- f(x)g(x+\Delta x) + f(x)g(x+\Delta x)} - f(x)g(x)}{\Delta x}

공통인수로 묶어 두 개의 분수로 분리합니다.

= \lim_{\Delta x \to 0} \left\{ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot g(x+\Delta x) + f(x) \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \right\}

함수 $f$ 와 $g$ 는 미분가능하므로 도함수 $f'(x), g'(x)$ 가 존재합니다. 또한 미분가능한 함수는 연속이므로 $\lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) = g(x)$ 입니다. 극한의 기본 성질을 적용하면 최종 공식을 얻습니다.

\therefore h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

조건 변화에 따른 $h'(0)$ 시각화 시뮬레이터

원점에서의 접선 관찰 및 조건의 기하학적 해석

이 시뮬레이터는 극한식 $L_1, L_2$의 값이 변할 때, 원점 $x=0$에서 각 함수의 미분계수(접선의 기울기)가 어떻게 연동되어 변하는지 직관적으로 보여줍니다. (캔버스 안에서 마우스 드래그 이동 및 휠 확대/축소가 자유롭게 가능합니다.)
수학적 고정 변수 : $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)+3}{x g(x)}$가 수렴하므로 분모가 $0$일 때 분자도 $0$이어야 합니다. 따라서 $f(0) = -3$입니다. 첫 번째 조건에 의해 $g(0) = 3$으로 고정되며, 이는 시뮬레이터에서 붉은색과 푸른색 접선들의 y절편이 항상 고정된 이유가 됩니다.
기울기의 변화 : 극한값 $L_2$는 $f'(0)$을 결정하고, $L_1$과 $f'(0)$이 결합되어 $g'(0)$을 결정합니다. 결과적으로 곱의 미분법 $h'(0) = f'(0)g(0) + f(0)g'(0)$에 의해 최종 접선(녹색 선)의 기울기가 도출됩니다. $h(x)$ 접선의 y절편은 $h(0) = f(0)g(0) = -9$에 영구적으로 고정됩니다.
수능 원본 문제의 조건은 $L_1 = 3, L_2 = 2$ 입니다. 슬라이더를 움직여 각 함수의 미분계수(기울기)가 어떻게 유기적으로 연동되는지 시각적으로 관찰해 보세요!

조건 1 : $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)+g(x)}{x} = L_1$ L₁ = 3

조건 2 : $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)+3}{x g(x)} = L_2$ L₂ = 2

f'(0) 6

g'(0) -3

h'(0) 27

y = 접선 f(x)

y = 접선 g(x)

y = 접선 h(x)