정적분으로 정의된 함수의 극값과 다항함수의 추론

함수 $g(x)$의 극값을 판별하기 위해 먼저 도함수 $g'(x)$를 구해야 합니다. 곱의 미분법과 정적분의 미분 정리를 적용합니다.

양변을 $x$에 대하여 미분하면, 첫 번째 항은 $x^2$과 $\int_{0}^{x} f(t) dt$의 곱이므로 곱의 미분법을 사용합니다.

$g(x)$가 오직 하나의 극값을 가지려면, 도함수 $g'(x)$의 부호가 바뀌는 지점이 단 한 곳이어야 합니다. 분석의 편의를 위해 정적분 부분을 새로운 함수 $H(x)$로 정의합니다.

$g'(x)$의 부호는 $2x$의 부호와 $H(x)$의 부호의 곱으로 결정됩니다. $H(x)$의 성질을 먼저 파악해 봅시다.

• $H(0) = \int_{0}^{0} f(t) dt = 0$ 이므로 $H(x)$는 원점을 지납니다.
• $H'(x) = f(x) = (x+1)(x-1)(x-a)$ 입니다.

$H'(x) = 0$이 되는 $x$값은 $-1, 1, a$ 이며, $a > 1$ 이므로 세 실근을 가집니다. 이를 통해 4차 함수 $H(x)$의 증감표와 개형을 추론할 수 있습니다.

• $x < -1$ : $H'(x) < 0$ (감소)
• $-1 < x < 1$ : $H'(x) > 0$ (증가)
• $1 < x < a$ : $H'(x) < 0$ (감소)
• $x > a$ : $H'(x) > 0$ (증가)

$H(x)$는 $x=-1, a$ 에서 극소, $x=1$ 에서 극대입니다. 여기서 중요한 것은 원점의 위치입니다. $H(0)=0$ 이며, $0$은 구간 $(-1, 1)$에 속하므로 함수가 증가하는 구간에서 $x$축을 통과합니다.

따라서 $x < 0$ 일 때 $H(x)$의 근을 살펴보면, $H(-1) < H(0) = 0$ 이고 $x \to -\infty$ 일 때 $H(x) \to \infty$ 이므로, 중간값 정리에 의해 $x < -1$ 인 구간에 유일한 실근 $r_0$가 존재합니다. 즉, $H(r_0) = 0$ 입니다.

이제 $g'(x) = 2x \cdot H(x)$ 의 부호 변화를 $x$ 구간별로 살펴봅니다.

이미 $x = r_0$ 에서 하나의 극값을 가졌으므로, '오직 하나의 극값'을 갖기 위해서는 $x > 0$ 인 구간에서 $g'(x)$의 부호 변화가 더 이상 없어야 합니다. $x > 0$ 이면 $2x > 0$ 이므로, $H(x)$가 부호 변화를 일으키면 안 됩니다.

$\therefore x > 0$ 인 모든 실수 $x$에 대하여 $H(x) \ge 0$ 이어야 합니다.

$x > 0$ 구간에서 $H(x)$의 최솟값은 극솟값인 $H(a)$ 입니다. 따라서 $H(a) \ge 0$ 이 성립하면 조건을 만족합니다.

조건에 따라 $H(a) \ge 0$ 부등식을 풉니다.

$a > 1$ 이므로 $a^2 > 0$ 입니다. 양변을 $\frac{1}{12}a^2$ 으로 나누면, $$ 6 - a^2 \ge 0 \implies a^2 \le 6 $$

$a > 1$ 이라는 최초 조건과 결합하면 $1 < a \le \sqrt{6}$ 입니다. 따라서 $a$의 최댓값은 $\sqrt{6}$ 입니다.