수능 출제 분석

수열의 귀납적 정의와 항의 번호 역추적 (이진 트리 구조)

Q 문제 원문

21. 수열 $\{a_n\}$은 $0 < a_1 < 1$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a_{2n} = a_2 \times a_n + 1$

(나) $a_{2n+1} = a_2 \times a_n - 2$

$a_7 = 2$일 때, $a_{25}$의 값은? [4점]

① 78

② 80

③ 82

④ 84

⑤ 86

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 수열의 귀납적 정의를 이해하고, 짝수항과 홀수항의 관계를 통해 특정 항의 값을 추론하는 능력을 평가합니다.

주어진 초기 조건 $0 < a_1 < 1$을 부등식으로 활용하여 미지수 항($a_2$)의 정확한 값을 확정 짓는 능력
$n$에서 $2n, 2n+1$로 파생되는 수열의 항의 번호 간의 관계를 파악하고 역추적하는 능력
연쇄적인 대입을 통해 목표하는 항($a_{25}$)을 논리적 오차 없이 계산해 내는 대수적 계산 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1 : $n=1$ 대입 및 $a_2$의 범위 구하기

모든 자연수 $n$에 대하여 성립하므로, 가장 기본이 되는 $n=1$을 조건 (가)에 대입하여 $a_1$과 $a_2$의 관계식을 도출합니다.

a_2 = a_2 \times a_1 + 1

이를 $a_1$에 대하여 정리합니다.

a_2 \times a_1 = a_2 - 1 $$ $$ \therefore a_1 = \frac{a_2 - 1}{a_2} = 1 - \frac{1}{a_2}

문제의 첫 번째 조건인 $0 < a_1 < 1$에 위에서 구한 $a_1$을 대입합니다.

0 < 1 - \frac{1}{a_2} < 1

각 변에서 $1$을 빼고, $-1$을 곱하여 부등호 방향을 바꿉니다.

-1 < -\frac{1}{a_2} < 0 $$ $$ 0 < \frac{1}{a_2} < 1

따라서 $a_2 > 1$ 이라는 중요한 조건을 확보하게 됩니다.

Step 2 : $a_7$ 조건 역추적 및 $a_2$ 값 확정

이제 주어지는 단서인 $a_7 = 2$를 이용하기 위해 $a_7$의 항의 번호를 역추적합니다. $7 = 2 \times 3 + 1$ 이므로 조건 (나)를 사용합니다.

a_7 = a_2 \times a_3 - 2 = 2

$a_3$ 역시 $3 = 2 \times 1 + 1$ 이므로 조건 (나)를 사용하여 $n=1$의 항으로 연결합니다.

a_3 = a_2 \times a_1 - 2

Step 1에서 구한 $a_2 \times a_1 = a_2 - 1$을 대입합니다.

$$ a_3 = (a_2 - 1) - 2 = a_2 - 3 $$

이 $a_3$를 다시 $a_7$ 식에 대입하여 $a_2$에 대한 이차방정식을 세웁니다.

\begin{align*} a_7 &= a_2(a_2 - 3) - 2 = 2 \\ & a_2^2 - 3a_2 - 4 = 0 \\ & (a_2 - 4)(a_2 + 1) = 0 \end{align*}

이차방정식의 해는 $a_2 = 4$ 또는 $a_2 = -1$ 이지만, Step 1에서 $a_2 > 1$ 임을 증명했으므로,

$$ \therefore a_2 = 4 $$

Step 3 : $a_{25}$ 경로 추적 및 정답 도출

우리가 구해야 하는 목표는 $a_{25}$ 입니다. 번호 $25$부터 $n$을 절반씩 줄여나가며(홀수일 때는 $1$을 빼고 절반) 역추적합니다.

$25 = 2 \times 12 + 1 \implies a_{25} = a_2 \times a_{12} - 2 = 4a_{12} - 2$
$12 = 2 \times 6 \implies a_{12} = a_2 \times a_6 + 1 = 4a_6 + 1$
$6 = 2 \times 3 \implies a_6 = a_2 \times a_3 + 1 = 4a_3 + 1$

Step 2에서 $a_3 = a_2 - 3$ 이었고, $a_2 = 4$ 이므로 $a_3 = 4 - 3 = 1$ 입니다. 이제 순방향으로 다시 대입하여 올라갑니다.

\begin{align*} a_6 &= 4(1) + 1 = 5 \\ a_{12} &= 4(5) + 1 = 21 \\ a_{25} &= 4(21) - 2 = 84 - 2 = 82 \end{align*}

따라서 정답은 ③번 82 입니다.

3 이론 매칭

수열의 귀납적 정의 이차방정식의 풀이 부등식의 성질

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오류 : $0 < a_1 < 1$ 조건을 무시하여 $a_2$ 값을 둘 다 인정하는 실수

방정식 $a_2^2 - 3a_2 - 4 = 0$ 을 풀면 $a_2 = 4$ 또는 $a_2 = -1$ 이 나옵니다. 이때 주어진 조건 $0 < a_1 < 1$ 을 활용하지 못하면 두 개의 값 중 어느 것을 선택해야 할지 몰라 임의로 진행하게 됩니다. 만약 $a_2 = -1$ 로 진행했다면 오답을 유발하게 됩니다.

수학적 증명 : $a_2 = -1$ 의 모순 만약 $a_2 = -1$ 이라면, Step 1의 관계식 $a_2 \times a_1 = a_2 - 1$ 에 대입해 봅니다.

$ -1 \times a_1 = -1 - 1 $
$ -a_1 = -2 \implies a_1 = 2 $

하지만 이는 문제에서 최초에 주어진 조건인 $0 < a_1 < 1$ 과 정면으로 모순(Contradiction)됩니다. 따라서 $a_2 \neq -1$ 이며 $a_2 = 4$ 만이 유일한 해가 됩니다.

5 핵심 이론 증명 : 이진 트리(Binary Tree) 형태의 항의 번호 확장

고등학교 교육과정에서는 '이진 트리'라는 명칭의 컴퓨터 공학적 용어를 직접적으로 학습하지 않습니다. 하지만 이 문항에서 사용된 $a_{2n}, a_{2n+1}$ 구조는 본질적으로 이진 트리의 탐색 구조와 완벽히 일치합니다.

항의 번호 $n$의 분기 특성 :

어떤 자연수 $k$가 주어졌을 때, 짝수이면 $k=2n$ 형태로, 홀수이면 $k=2n+1$ 형태로 유일하게 표현됩니다. (나눗셈 정리)
이러한 귀납적 정의는 $a_1$이라는 루트(Root)에서 시작하여, 아래로 가지를 뻗어나가며 모든 자연수 번호의 항들을 중복이나 누락 없이 하나씩 생성해냅니다.

따라서 어떤 큰 수의 항(예 : $a_{25}$)을 구하더라도, 2로 나누는 과정을 반복하면 반드시 유일한 경로를 거쳐 $a_1$으로 도달할 수 있음이 수학적으로 보장됩니다. 이를 통해 수열의 모든 항이 유일하게 결정(Well-defined)됨을 증명할 수 있습니다.

수열 항의 번호 역추적 시뮬레이터

동적 탐구 가이드

아래의 버튼을 클릭하여 각 풀이 단계에서 분석한 수열의 항의 번호 역추적 경로를 시각적으로 확인하세요.
선택된 경로에 포함된 항들은 하이라이트 되며, 실제 $a_n$의 계산 값이 함께 표시됩니다. (단, $a_2=4, a_1=3/4$ 기준)
어떤 항 $a_k$에서 시작하더라도 $k$가 짝수면 왼쪽 위($n=k/2$)로, 홀수면 오른쪽 위($n=(k-1)/2$)로 거슬러 올라가면 반드시 $a_1$에 도달합니다.

가 (짝수 : $2n$)

나 (홀수 : $2n+1$)

활성 노드

비활성 노드