25. 곡선 $y = 4x^3 - 12x + 7$과 직선 $y = k$가 만나는 점의 개수가 2가 되도록 하는 양수 $k$의 값을 구하시오. [3점]
이 문항은 도함수를 이용하여 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 판정하고 그래프의 개형을 그릴 수 있는지를 평가합니다. 또한, 방정식의 실근의 개수가 두 함수의 그래프가 만나는 교점의 개수와 같음을 이해하고 이를 문제 해결에 적용할 수 있는지를 묻습니다.
주어진 3차 함수의 그래프 개형을 알기 위해 함수를 $f(x)$라 하고 도함수 $f'(x)$를 구합니다.
도함수 $f'(x) = 0$이 되는 $x$의 값을 찾아 극값이 존재하는 위치를 확인합니다.
구해진 $x$ 값을 원래의 함수 $f(x)$에 대입하여 극대값과 극소값을 계산합니다. 최고차항의 계수가 양수($4 > 0$)인 3차 함수이므로, $x = -1$에서 극대, $x = 1$에서 극소를 갖습니다.
방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$가 만나는 교점의 개수와 같습니다. 3차 함수 그래프와 수평선이 정확히 2개의 교점을 가지려면, 직선 $y = k$가 곡선의 극대점 또는 극소점 중 하나에 접해야 합니다.
문제의 조건에서 양수 $k$의 값을 구하라고 하였으므로, $k = 15$가 됩니다.
도함수 $f'(x)=0$을 만족하는 $x$ 값을 구한 후, $x = \pm 1$이라는 숫자에 매몰되어 상수 $k$의 값을 $1$이라고 오해하는 경우가 있습니다. $k$는 $y$축 상의 값(함수값)이므로 반드시 $f(x)$에 $x$를 대입하여 산출해야 합니다.
극대값 $15$와 극소값 $-1$을 모두 정확히 구했음에도 불구하고, 문제의 발문에 있는 '양수 $k$'라는 제한 조건을 놓치고 두 값을 모두 적거나 음수값을 선택하는 실수가 빈번하게 발생합니다. 수학 문제에서 제한 조건은 정답을 유일하게 결정짓는 핵심 요소입니다.
[정리 : 삼차함수와 수평선의 교점 개수 정합성]
최고차항의 계수가 $a \neq 0$인 삼차함수 $f(x)$가 서로 다른 두 극값 $f(\alpha), f(\beta)$ ($\alpha \neq \beta$)를 가질 때, 방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 실근의 개수가 정확히 2가 되기 위한 필요충분조건은 $k = f(\alpha)$ 또는 $k = f(\beta)$이다. 즉, $(f(\alpha) - k)(f(\beta) - k) = 0$ 이다.
1. 필요조건 증명 ($\implies$) : 실근이 정확히 2개이면 $k$는 극값이다.
$g(x) = f(x) - k$ 라 정의하면, $g(x)$는 최고차항의 계수가 $a$인 3차 다항함수입니다. 대수학의 기본정리에 의해 삼차방정식 $g(x) = 0$은 복소수 범위에서 중근을 포함하여 정확히 3개의 근을 가집니다.
이때 실계수 다항식의 성질상 허근은 반드시 켤레쌍(2개)으로 존재하므로, 실근의 개수 구성은 오직 다음 세 가지 경우뿐입니다 :
따라서 서로 다른 실근의 개수가 정확히 2개가 되기 위해서는 $g(x) = 0$이 중근 $p$와 단순 실근 $q$ ($p \neq q$)를 가져야만 합니다 :
양변을 곱의 미분법으로 미분하면 다음과 같습니다 :
$x = p$를 대입하면 $g'(p) = 0$ 이 됩니다. 그런데 $g'(x) = f'(x)$ 이므로 $f'(p) = 0$ 이 성립합니다. $f'(x) = 0$의 실근은 오직 극점의 $x$좌표인 $\alpha, \beta$뿐이므로, $p = \alpha$ 또는 $p = \beta$ 이어야 합니다.
$p$는 방정식 $g(x) = 0$의 해이므로 $g(p) = f(p) - k = 0 \implies k = f(p)$ 입니다. 따라서 $k = f(\alpha)$ 또는 $k = f(\beta)$ 임이 증명됩니다.
2. 충분조건 증명 ($\Leftarrow$) : $k$가 극값이면 실근은 정확히 2개이다.
$k = f(\alpha)$ 인 경우를 살펴보면, $g(\alpha) = f(\alpha) - k = 0$ 입니다. 또한 $x = \alpha$는 극점이므로 $g'(\alpha) = f'(\alpha) = 0$ 입니다. 인수정리와 미분가능성에 의해 $g(x)$는 $(x - \alpha)^2$을 인수로 가지므로 다음과 같이 표현됩니다 :
이 식의 도함수를 구하면 :
$g'(x) = 0$의 또 다른 실근은 $\beta$ 이어야 하므로, $3\beta - 2r - \alpha = 0$ 에서 나머지 한 실근 $r$의 위치가 결정됩니다 :
$\alpha \neq \beta$ 이므로 $r - \alpha = \frac{3(\beta - \alpha)}{2} \neq 0$, 즉 $r \neq \alpha$ 입니다. 따라서 $g(x) = 0$의 실근은 $x = \alpha$ (중근)와 $x = r$ (단순 실근)의 정확히 서로 다른 2개임이 확정됩니다. ($k = f(\beta)$인 경우도 동일한 방식으로 $x = \beta$와 $x = \frac{3\alpha - \beta}{2} \neq \beta$의 서로 다른 2개의 실근을 가집니다.)
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