26.
함수
$$
f(x) = \begin{cases}
-3x + a & (x \le 1) \\
\frac{x + b}{\sqrt{x + 3} - 2} & (x > 1)
\end{cases}
$$
이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $a + b$의 값을 구하시오.
(단, $a$와 $b$는 상수이다.) [4점]
이 문항은 구간에 따라 다르게 정의된 함수가 실수 전체에서 연속이 되기 위한 조건을 설정하고, 무리식을 포함한 함수의 극한값을 계산할 수 있는지를 평가합니다.
주어진 함수 $f(x)$는 $x \le 1$인 구간에서는 다항함수이고, $x > 1$인 구간에서는 무리함수 형태의 분수함수입니다. 두 구간에서 각각 연속이므로, 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면 두 구간이 나뉘는 지점인 $x = 1$에서 연속이어야 합니다.
함수 $f(x)$가 $x = 1$에서 연속일 조건은 다음과 같습니다.
좌극한과 함숫값은 첫 번째 식에 $x = 1$을 대입하여 구합니다.
우극한은 두 번째 식의 극한으로 구합니다. 연속이어야 하므로 이 극한값은 존재해야 합니다.
이때 $x \to 1^{+}$일 때, 분모 $\sqrt{x + 3} - 2 \to \sqrt{4} - 2 = 0$이 됩니다. 분모가 $0$으로 수렴하는데 극한값이 존재하려면, 분자 역시 $0$으로 수렴해야 합니다. (이 극한의 기본 성질은 아래 '핵심 이론 증명'에서 자세히 다룹니다.)
구한 $b = -1$을 우극한 식에 다시 대입하고, 분모를 유리화하여 극한값을 계산합니다.
$x \to 1^{+}$이므로 $x \neq 1$입니다. 따라서 $(x - 1)$로 약분이 가능합니다.
Step 1에서 설정한 연속 조건(좌극한 = 우극한)에 따라 두 값을 일치시킵니다.
앞선 단계에서 $a = 7$, $b = -1$ 임을 구했습니다. 문제에서 요구하는 $a + b$의 값을 계산합니다.
우극한 식 $\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x+b}{\sqrt{x+3}-2}$ 에서 바로 유리화를 시도하다가 식을 복잡하게 만들어 오류를 범하는 경우가 있습니다. 극한 기호 안의 함수가 분수 형태일 때, 대입을 통해 분모가 0으로 간다는 사실을 먼저 확인하고, 전체 극한값이 존재하므로 반드시 분자도 0으로 가야 한다는 정리를 최우선으로 적용하여 $b$를 구해야 합니다.
분모 $\sqrt{x+3}-2$를 유리화하기 위해 $\sqrt{x+3}+2$를 분모, 분자에 곱할 때, 합차 공식을 적용하는 과정에서 $(\sqrt{x+3})^2 - 2^2 = x+3-4 = x-1$ 이 도출되어야 합니다. 간혹 제곱을 잘못하여 엉뚱한 식이 나와 약분이 되지 않아 당황하는 학생이 많습니다. 차분한 대수적 전개가 필수적입니다.
[정리 : 극한값이 존재하고 분모가 0으로 수렴할 때 분자의 극한]
두 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L$ ($L$은 실수) 이고 $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = 0$ 이면, 반드시 $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = 0$ 이 성립한다.
논리적 증명 과정
함수의 극한에 대한 기본 성질을 이용합니다. 극한의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 성질은 각각의 극한값이 존재할 때만 성립합니다.
문제의 조건에서 다음 두 극한값이 존재함을 알고 있습니다.
함수 $f(x)$는 다음과 같이 조작하여 표현할 수 있습니다. (단, $x \neq a$ 이고 $g(x) \neq 0$ 인 구간을 가정)
양변에 $x \to a$의 극한을 취하면, 우변의 두 구성 요소가 모두 수렴하므로 극한의 곱셈 성질을 분리하여 적용할 수 있습니다.
따라서 $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = 0$ 이 성립함이 수학적으로 엄밀하게 증명됩니다. 이 문항에서는 $g(x) = \sqrt{x+3}-2$, $f(x) = x+b$ 에 해당하며, 이 정리에 의해 $\displaystyle \lim_{x \to 1} (x+b) = 0$ 이 성립하게 됩니다.
미정계수 조작 가이드