수능 출제 분석

정적분을 활용한 두 곡선 사이의 넓이

Q 문제 원문

27. 곡선 $y = x^2 - 7x + 10$과 직선 $y = -x + 10$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.
[4점]

① 32

② 34

③ 36

④ 38

⑤ 40

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 다항함수의 정적분을 활용하여 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 정확히 계산할 수 있는지를 평가합니다.

두 함수의 식을 연립하여 교점의 좌표를 대수적으로 구하는 능력
주어진 구간에서 두 함수의 상하 관계(대소 관계)를 파악하여 적분 기호 안의 식을 올바르게 설정하는 능력
정적분의 기본 정리를 이용하여 값을 실수 없이 계산하는 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1 : 두 그래프의 교점 구하기

곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하기 위해서는 먼저 적분 구간의 양 끝점이 되는 두 그래프의 교점을 찾아야 합니다. 두 함수의 식을 연립하여 이차방정식을 세웁니다.

\begin{align*} x^2 - 7x + 10 &= -x + 10 \\ x^2 - 6x &= 0 \\ x(x - 6) &= 0 \end{align*}

방정식을 풀면 $x = 0$ 또는 $x = 6$ 이 도출됩니다. 따라서 두 그래프는 $x=0$과 $x=6$에서 교차합니다.

참고 도형 : 두 함수의 교점 확인

Step 2 : 구간 내 두 함수의 대소 관계 파악

구간 $[0, 6]$에서 넓이를 구하기 위해서는 어느 함수가 더 위쪽에 위치하는지(함숫값이 더 큰지) 파악해야 합니다. 구간 내의 임의의 점인 $x = 3$을 두 함수에 대입해 봅니다.

곡선 $y = x^2 - 7x + 10$ 에 대입 : $3^2 - 7(3) + 10 = -2$
직선 $y = -x + 10$ 에 대입 : $-3 + 10 = 7$

직선의 함숫값이 곡선의 함숫값보다 큽니다. 따라서 구간 $[0, 6]$에서 직선이 곡선보다 항상 위쪽에 위치함을 알 수 있습니다.

Step 3 : 정적분을 이용한 넓이 계산

둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 (위쪽 함수)에서 (아래쪽 함수)를 뺀 식을 적분하여 구합니다.

\begin{align*} S &= \int_{0}^{6} \{ (-x + 10) - (x^2 - 7x + 10) \} dx \\ &= \int_{0}^{6} (-x^2 + 6x) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 \right]_{0}^{6} \\ &= \left( -\frac{1}{3} \cdot 6^3 + 3 \cdot 6^2 \right) - 0 \\ &= -\frac{216}{3} + 3(36) \\ &= -72 + 108 = 36 \end{align*}

참고 도형 : 정적분으로 구하는 넓이 영역

Step 4 : 최종 정답 도출

계산 결과, 둘러싸인 부분의 넓이는 36입니다.

따라서 구하는 넓이는 36입니다. (선지 ③번에 해당)

3 이론 매칭

정적분의 활용 두 곡선 사이의 넓이 이차방정식의 근과 계수의 관계

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오류 1 : 피적분 함수의 부호 판단 실수

두 함수로 둘러싸인 넓이를 구할 때, 대소 관계를 확인하지 않고 무작정 (곡선) - (직선) 순서로 빼서 정적분하면 결과가 -36으로 음수가 나옵니다. 넓이는 반드시 양수이어야 하므로, 적분 결과가 음수가 나왔다면 상하 관계 설정이 잘못되었음을 인지하고 전체에 절댓값을 씌우거나 부호를 반대로 수정하여 계산을 마무리해야 합니다.

5 핵심 이론 증명 : 이차함수의 넓이 공식

[정리 : 이차함수와 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식]

이차함수 $y = ax^2 + bx + c$ 와 직선 $y = mx + n$ 이 두 점 $x = \alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) 에서 만날 때, 두 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$는 다음과 같습니다. (단, 고등학교 심화과정 또는 내신 팁으로 자주 다루어지는 유용한 공식입니다.)

S = \frac{|a|}{6} (\beta - \alpha)^3

공식의 논리적 증명 과정

두 함수 $f(x) = ax^2 + bx + c$와 $g(x) = mx + n$의 교점의 $x$좌표가 $\alpha, \beta$ 이므로, 방정식 $f(x) - g(x) = 0$은 최고차항의 계수 $a$를 가지며 다음과 같이 인수분해됩니다.

f(x) - g(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)

두 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$는 구간 $[\alpha, \beta]$에서 두 함수의 차이의 절댓값을 정적분한 값입니다.

S = \int_{\alpha}^{\beta} |f(x) - g(x)| dx = \int_{\alpha}^{\beta} |a(x - \alpha)(x - \beta)| dx

피적분 함수 $(x - \alpha)(x - \beta)$를 전개하여 정적분을 대수적으로 계산합니다.

\begin{align*} \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx &= \int_{\alpha}^{\beta} \{ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta \} dx \\ &= \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{\alpha + \beta}{2}x^2 + \alpha\beta x \right]_{\alpha}^{\beta} \\ &= \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) - \frac{\alpha + \beta}{2}(\beta^2 - \alpha^2) + \alpha\beta(\beta - \alpha) \\ &= (\beta - \alpha) \left\{ \frac{1}{3}(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) - \frac{1}{2}(\alpha + \beta)^2 + \alpha\beta \right\} \\ &= (\beta - \alpha) \left( \frac{2\beta^2 + 2\alpha\beta + 2\alpha^2 - 3\alpha^2 - 6\alpha\beta - 3\beta^2 + 6\alpha\beta}{6} \right) \\ &= (\beta - \alpha) \left( \frac{-\beta^2 + 2\alpha\beta - \alpha^2}{6} \right) \\ &= -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)(\beta^2 - 2\alpha\beta + \alpha^2) \\ &= -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3 \end{align*}

따라서 넓이 $S$는 최종적으로 절댓값을 씌워 다음과 같이 아름답게 도출됩니다.

S = \left| a \times \left( -\frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3 \right) \right| = \frac{|a|}{6} (\beta - \alpha)^3

공식 적용 검증

이 문항에 공식을 직접 적용하여 빠르고 정확하게 검증할 수 있습니다.

이차항의 계수 : $a = 1$
두 교점의 좌표 : $\alpha = 0, \beta = 6$

\begin{align*} S &= \frac{|1|}{6} (6 - 0)^3 \\ &= \frac{1}{6} \times 216 \\ &= 36 \end{align*}

직접 정적분하여 구한 결과와 완전히 일치함을 확인할 수 있습니다. 실전에서는 연산 실수를 줄이고 시간을 단축하기 위해 이 공식을 적극 활용하는 것이 좋습니다.

정적분 넓이 실시간 시뮬레이터

Pan & Zoom

변수 조작 가이드

직선의 y절편(k) 조절 : 직선 $y = -x + k$ 의 절편을 위아래로 움직여 봅니다.
두 그래프가 교차할 때 생성되는 초록색 영역이 정적분의 넓이를 의미합니다.
문항에 제시된 $k=10$ 위치에서 넓이가 $36$이 되는 것을 확인하세요.

현재 둘러싸인 넓이 : 36.00

직선 $y = -x + k$ 조절 : 10.0

010 (기본)20

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