절댓값 함수의 미분가능성과 다항함수 추론

계산을 용이하게 하기 위해 새로운 함수 $k(x) = f(x) - g(x)$를 정의합니다. $f(x)$가 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고 $g(x)$는 일차함수이므로, $k(x)$ 역시 최고차항의 계수가 1인 삼차함수입니다.

조건에서 $h(0) = 0$이 주어졌습니다. $x < 1$ 범위이므로 $h(0) = |f(0) - g(0)| = |k(0)| = 0$ 입니다. 즉, $k(0) = 0$ 입니다.

또한 $h(x)$는 실수 전체에서 미분가능하므로 $x=0$에서도 미분가능해야 합니다. $h(x) = |k(x)|$ 가 $k(0)=0$ 임에도 $x=0$에서 미분가능하려면, 꺾이는 점(첨점)이 발생하지 않아야 하므로 $k'(0) = 0$ 이어야 합니다. (이론 매칭 참고)

따라서 삼차함수 $k(x)$는 $x^2$을 인수로 가져야 하므로 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.

$h(x) = |x^2(x - \alpha)|$ 가 $x < 1$ 범위에서 미분가능해야 합니다. 만약 $\alpha < 1$ 이면서 $\alpha \neq 0$ 이라면, $x = \alpha$ 에서 함수가 x축을 뚫고 지나가므로 절댓값을 씌웠을 때 첨점이 발생하여 미분불가능해집니다.

따라서 $x < 1$ 범위 내에 $x$축과 교차하는 점이 없어야 하므로 $\alpha \ge 1$ 이어야 합니다. (물론 $\alpha=0$인 경우 $x^3$이 되어 미분가능하지만 이후 조건에서 모순이 발생합니다.)

$\alpha \ge 1$ 이므로, $x < 1$ 일 때 $x - \alpha < 0$ 입니다. 따라서 $k(x) = x^2(x - \alpha) \le 0$ 이 성립합니다. 절댓값을 풀면 다음과 같습니다.

일차함수 $g(x) = mx + n$ 으로 둡니다. $x \ge 1$ 일 때 $h(x) = f(x) + g(x)$ 인데, 이는 $k(x) + 2g(x)$ 와 같습니다.

• 연속성 확인 : $\lim_{x \to 1-} h(x) = \lim_{x \to 1+} h(x)$
  $\lim_{x \to 1-} h(x) = -1 + \alpha$
  $\lim_{x \to 1+} h(x) = k(1) + 2g(1) = (1 - \alpha) + 2(m + n)$
  즉, $-1 + \alpha = 1 - \alpha + 2(m + n) \implies 2(m+n) = 2\alpha - 2 \implies \mathbf{m + n = \alpha - 1}$
• 미분가능성 확인 : $\lim_{x \to 1-} h'(x) = \lim_{x \to 1+} h'(x)$
  $x < 1$ 에서 $h'(x) = -3x^2 + 2\alpha x \implies \lim_{x \to 1-} h'(x) = -3 + 2\alpha$
  $x > 1$ 에서 $h'(x) = k'(x) + 2g'(x) = (3x^2 - 2\alpha x) + 2m \implies \lim_{x \to 1+} h'(x) = 3 - 2\alpha + 2m$
  즉, $-3 + 2\alpha = 3 - 2\alpha + 2m \implies 2m = 4\alpha - 6 \implies \mathbf{m = 2\alpha - 3}$

위 두 식을 연립하면 $n = (\alpha - 1) - m = \alpha - 1 - (2\alpha - 3) = \mathbf{-\alpha + 2}$ 입니다.

조건 $h(2) = 5$ 를 이용합니다. $x = 2 \ge 1$ 이므로 $h(2) = k(2) + 2g(2)$ 를 사용합니다.

$h(2) = 2\alpha = 5$ 이므로 $\alpha = \frac{5}{2}$ 입니다. (이는 $\alpha \ge 1$ 조건도 만족합니다.)

$\alpha = \frac{5}{2}$ 를 대입하여 함수들을 완성합니다.

• $k(x) = x^3 - \frac{5}{2}x^2$
• $m = 2(\frac{5}{2}) - 3 = 2$, $n = -\frac{5}{2} + 2 = -\frac{1}{2} \implies g(x) = 2x - \frac{1}{2}$