Step 1

방정식의 분리 및 함수 정의

주어진 방정식 $2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0$ 이 서로 다른 세 실근을 가져야 합니다. 이 문제를 그래프의 교점 문제로 쉽게 접근하기 위해, 미지수 $k$ 를 우변으로 이항하여 방정식을 두 함수의 관계로 분리합니다.

이제 좌변과 우변을 각각 별도의 함수로 정의합니다.

• $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ (3차 함수)
• $g(x) = -k$ (상수 함수, $x$ 축에 평행한 직선)

방정식이 서로 다른 세 실근을 가진다는 것은 곡선 $y = f(x)$ 와 직선 $y = g(x)$ 가 서로 다른 세 점에서 만난다는 의미와 같습니다.

Step 2

함수 $f(x)$ 의 도함수 및 극값의 위치 ($x$ 좌표) 확인

함수 $f(x)$ 의 그래프 개형을 알기 위해 미분하여 도함수 $f'(x)$ 를 구합니다. 극값을 가지는 $x$ 의 위치를 찾기 위함입니다.

$f'(x) = 0$ 이 되는 $x$ 의 값을 찾기 위해 방정식을 풉니다.

따라서 $x = -1$ 또는 $x = 2$ 에서 $f'(x) = 0$ 이 됩니다. $x = -1$ 의 좌우에서 $f'(x)$ 의 부호는 양(+)에서 음(-)으로 변하므로 $x = -1$ 에서 극대가 됩니다. $x = 2$ 의 좌우에서 $f'(x)$ 의 부호는 음(-)에서 양(+)으로 변하므로 $x = 2$ 에서 극소가 됩니다.

Step 3

함수 $f(x)$ 의 극댓값과 극솟값 계산

찾아낸 $x$ 좌표를 원래 함수 $f(x)$ 에 대입하여 극대와 극소에 해당하는 $y$ 값을 계산합니다.

• ■ 극댓값 계산 ($x = -1$ 일 때)
  $$ f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) $$ $$ f(-1) = -2 - 3 + 12 = 7 $$
  극댓값은 $7$ 입니다.
• ■ 극솟값 계산 ($x = 2$ 일 때)
  $$ f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) $$ $$ f(2) = 16 - 12 - 24 = -20 $$
  극솟값은 $-20$ 입니다.

Step 4

두 그래프의 교점 조건 확인 및 $k$ 의 범위 도출

함수 $y = f(x)$ 의 개형은 $x = -1$ 에서 극댓값 $7$ 을, $x = 2$ 에서 극솟값 $-20$ 을 가지는 형태입니다. 직선 $y = -k$ 가 이 곡선과 서로 다른 세 점에서 만나기 위해서는 직선의 높이가 극솟값보다는 크고, 극댓값보다는 작아야 합니다.

이 부등식의 각 변에 $-1$ 을 곱하여 $k$ 의 범위를 구합니다. (음수를 곱하므로 부등호의 방향이 바뀜에 주의해야 합니다.)

Step 5

정수 $k$ 의 개수 계산 및 최종 답 도출

조건을 만족하는 정수 $k$ 의 범위는 $-7 < k < 20$ 입니다. 이 범위에 속하는 정수 $k$ 는 $-6, -5, \dots, 0, \dots, 18, 19$ 가 됩니다.

부등식 $\alpha < x < \beta$ (단, $\alpha, \beta$ 는 정수)를 만족하는 정수 $x$ 의 개수는 $\beta - \alpha - 1$ 공식으로 쉽게 계산할 수 있습니다.

따라서 정수 $k$ 의 개수는 $26$ 이며, 정답은 선택지 3번입니다.