수능 출제 분석

삼각함수의 성질과 삼각방정식의 풀이, 그리고 사분면에 따른 부호 판별

Q 문제 원문

7. 삼각함수

$\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$ 인 $\theta$ 에 대하여 $\tan \theta - \frac{6}{\tan \theta} = 1$ 일 때,

$\sin \theta + \cos \theta$ 의 값은? [3점]

① $-\frac{2\sqrt{10}}{5}$
② $-\frac{\sqrt{10}}{5}$
③ $0$
④ $\frac{\sqrt{10}}{5}$
⑤ $\frac{2\sqrt{10}}{5}$

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 삼각방정식을 풀고, 주어진 각의 사분면 위치에 따른 삼각함수의 부호를 정확히 판별하는 능력을 평가합니다.

  • 유리방정식 형태의 식을 이차방정식으로 변환하여 $\tan \theta$ 의 값을 구하는 능력
  • 주어진 각 $\theta$ 의 범위를 통해 $\tan \theta$ 의 올바른 값을 선택하는 논리적 판단 능력
  • 삼각함수의 기본 성질인 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ 및 $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ 를 활용하여 다른 삼각함수의 값을 계산하는 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

삼각방정식의 변환 및 $\tan \theta$ 에 대한 이차방정식 풀이

주어진 식에는 분모에 $\tan \theta$ 가 포함되어 있습니다. 식을 간단히 하기 위해 양변에 $\tan \theta$ 를 곱해줍니다. (단, $\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$ 범위에서 $\tan \theta > 0$ 이므로 $\tan \theta \neq 0$ 임이 보장됩니다.)

$$ \tan \theta - \frac{6}{\tan \theta} = 1 $$ $$ \tan^2 \theta - 6 = \tan \theta $$

항을 한쪽으로 이항하여 $\tan \theta$ 에 대한 이차방정식 형태로 정리합니다.

$$ \tan^2 \theta - \tan \theta - 6 = 0 $$

이차방정식을 인수분해합니다.

$$ (\tan \theta - 3)(\tan \theta + 2) = 0 $$

따라서 $\tan \theta = 3$ 또는 $\tan \theta = -2$ 입니다.

[참고도 1 : 이차함수 $y = t^2 - t - 6$ 의 그래프 ($t = \tan \theta$)] t축 y축 -2 3 y = t² - t - 6
Step 2

각의 사분면에 따른 $\tan \theta$ 값의 결정

문제의 조건에서 $\theta$ 의 범위가 주어졌습니다.

$$ \pi < \theta < \frac{3}{2}\pi $$

이 범위는 좌표평면에서 제3사분면을 의미합니다. 제3사분면에서는 $x$ 좌표(코사인)와 $y$ 좌표(사인)가 모두 음수이므로, 기울기를 나타내는 $\tan \theta$ 는 양수(+)가 됩니다. (얼싸안코(All-Sin-Tan-Cos) 규칙에 의해 제3사분면은 Tan만 양수)

따라서 $\tan \theta > 0$ 이어야 하므로, Step 1에서 구한 두 값 중 $\tan \theta = 3$ 으로 결정됩니다.

[참고도 2 : 제3사분면과 삼각함수의 부호] x축 y축 제3사분면 tan θ > 0 θ
Step 3

$\sin \theta$ 와 $\cos \theta$ 값 구하기

$\tan \theta = 3$ 임을 알았으므로, 삼각함수의 관계식 $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ 를 이용합니다.

$$ \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 3 \implies \sin \theta = 3 \cos \theta $$

이제 가장 기본적인 삼각함수 항등식 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ 에 위 식을 대입합니다.

$$ (3 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1 $$ $$ 9 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $$ $$ 10 \cos^2 \theta = 1 $$ $$ \cos^2 \theta = \frac{1}{10} $$

$\theta$ 가 제3사분면의 각이므로, $x$ 좌표에 해당하는 $\cos \theta$ 는 음수입니다.

$$ \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10} $$

구한 $\cos \theta$ 값을 $\sin \theta = 3 \cos \theta$ 에 대입하여 $\sin \theta$ 를 구합니다. ($\sin \theta$ 역시 제3사분면이므로 음수여야 합니다.)

$$ \sin \theta = 3 \times \left( -\frac{\sqrt{10}}{10} \right) = -\frac{3\sqrt{10}}{10} $$
[참고도 3 : 제3사분면에 그려진 직각삼각형]

밑변의 길이를 1이라 할 때 높이가 3이 되는 비율을 가집니다. 좌표로는 음수값을 갖습니다.

-1 -3 √10 θ'
Step 4

최종 식 계산

문제에서 요구하는 $\sin \theta + \cos \theta$ 의 값을 계산합니다.

$$ \sin \theta + \cos \theta = \left( -\frac{3\sqrt{10}}{10} \right) + \left( -\frac{\sqrt{10}}{10} \right) $$ $$ = -\frac{4\sqrt{10}}{10} $$ $$ = -\frac{2\sqrt{10}}{5} $$

따라서 구하는 값은 $-\frac{2\sqrt{10}}{5}$ 이며, 정답은 선택지 1번입니다.

[참고도 4 : 음수의 덧셈 (수직선 상의 이동)] 0 -3√10 / 10 -√10 / 10 -4√10 / 10

3 이론 매칭

삼각함수의 뜻 사분면에 따른 삼각함수의 부호 삼각함수 사이의 관계 삼각방정식

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오류 1 : 각의 사분면 무시

이차방정식을 풀어 $\tan \theta = 3$ 과 $\tan \theta = -2$ 를 구한 후, 주어진 $\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$ 조건을 확인하지 않고 $\tan \theta = -2$ 를 선택하는 치명적인 실수를 할 수 있습니다. 이 경우 제2사분면이나 제4사분면으로 착각하여 부호가 꼬이게 됩니다.

해결 : 삼각방정식 문제에서 각의 범위는 유일해를 결정짓는 핵심 키입니다. 항상 단위원이나 '얼싸안코'를 그려 부호를 먼저 확정 짓는 습관이 필요합니다.

오류 2 : 제곱근 부호 판별 누락

$\cos^2 \theta = \frac{1}{10}$ 에서 $\cos \theta = \pm\frac{1}{\sqrt{10}}$ 를 구해야 하는데, 기계적으로 양수만 취하여 $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ 이라고 적는 실수입니다. 이 경우 최종 답이 양수로 도출되어 완벽한 오답이 됩니다.

해결 : 어떤 수의 제곱을 풀 때는 반드시 $\pm$ 를 붙인 후, 주어진 사분면 조건(여기서는 제3사분면이므로 코사인은 음수)에 따라 알맞은 부호를 논리적으로 선택해야 합니다.

5 핵심 이론 증명 : 삼각함수 사이의 관계

문제 해결의 근간이 되는 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ 과 $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ 는 단위원에서의 삼각함수 정의를 통해 쉽게 증명할 수 있습니다.

[증명] 단위원과 피타고라스 정리

좌표평면 위에 중심이 원점 $(0,0)$ 이고 반지름의 길이가 $r$ 인 원을 그립니다. 원 위의 임의의 점을 $P(x, y)$ 라 하고, 동경 $OP$ 가 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 합시다.

  • 삼각함수의 정의에 의해 $\sin \theta = \frac{y}{r}$, $\cos \theta = \frac{x}{r}$, $\tan \theta = \frac{y}{x}$ (단, $x \neq 0$) 로 정의됩니다.
  • $\tan \theta$ 의 식에서 분모와 분자를 $r$ 로 나눕니다.
    $$ \tan \theta = \frac{y/r}{x/r} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $$
  • 점 $P(x, y)$ 는 중심이 원점이고 반지름이 $r$ 인 원 위의 점이므로, 원의 방정식 $x^2 + y^2 = r^2$ 을 만족합니다. 양변을 $r^2$ 으로 나눕니다.
    $$ \left(\frac{x}{r}\right)^2 + \left(\frac{y}{r}\right)^2 = 1 $$
  • 정의를 대입하면 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ 이 성립함이 완벽히 증명됩니다. 이 성질은 각 $\theta$ 가 어떤 사분면에 위치하든($x, y$ 의 부호에 상관없이) 항상 성립하는 절대적인 항등식입니다.

단위원 삼각함수 시뮬레이터 (2D)

■ 시뮬레이터 조작 가이드

슬라이더를 움직여 동경의 각도 $\theta$ 를 조절해보세요. 각 사분면에 따른 사인, 코사인, 탄젠트 값의 부호 변화를 관찰할 수 있습니다.

  • 빨간 점 : $P(\cos\theta, \sin\theta)$
  • $\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$ (제3사분면) 영역이 강조되어 있습니다.
각도 $\theta$ (Degree) θ = 45°
sin(θ) [y]
0.000
cos(θ) [x]
0.000
tan(θ) [y/x]
0.000
제1사분면