정적분을 활용한 두 곡선 사이의 넓이와 미지수 결정
8. 정적분의 활용
곡선 $y = x^2 - 5x$ 와 직선 $y = x$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 직선 $x = k$ 가 이등분할 때, 상수 $k$ 의 값은? [3점]
이 문항은 정적분을 이용하여 두 함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 계산하고, 넓이가 분할되는 조건을 수식으로 표현하여 미지수를 구하는 능력을 평가합니다.
먼저 곡선 $y = x^2 - 5x$ 와 직선 $y = x$ 의 교점의 $x$ 좌표를 구합니다. 두 식을 연립합니다.
따라서 두 그래프의 교점의 $x$ 좌표는 $x = 0$ 과 $x = 6$ 입니다. 구간 $[0, 6]$ 에서 직선 $y = x$ 가 곡선 $y = x^2 - 5x$ 보다 위쪽에 위치하므로, 둘러싸인 전체 넓이를 $S$ 라고 하면 정적분 식은 다음과 같습니다.
정적분을 직접 계산하거나 이차함수 넓이 공식을 사용합니다. 넓이 공식 $\frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$ 을 적용하면 훨씬 빠릅니다.
직선 $x = k$ 가 전체 넓이를 이등분하므로, $k$ 는 $0$ 과 $6$ 사이의 값($0 < k < 6$)이어야 합니다. 구간 $[0, k]$ 에서의 정적분 값이 전체 넓이 $36$ 의 절반인 $18$ 이 되어야 합니다.
좌변의 정적분을 계산합니다.
Step 2에서 구한 식을 통해 $k$ 에 대한 삼차방정식을 세웁니다.
양변에 $-3$ 을 곱하여 식을 정리합니다.
이 삼차방정식을 풀기 위해 인수정리를 이용합니다. 보기를 참고하여 $k = 3$ 을 대입해 보면, $3^3 - 9(3^2) + 54 = 27 - 81 + 54 = 0$ 이 성립합니다. 따라서 조립제법을 이용하여 $(k - 3)$ 으로 인수분해 할 수 있습니다.
방정식의 근을 모두 구해봅시다. $k - 3 = 0$ 에서 $k = 3$ 입니다.
$k^2 - 6k - 18 = 0$ 을 근의 공식으로 풀면,
우리가 찾는 $k$ 의 범위는 $0 < k < 6$ 입니다. $3 - 3\sqrt{3} < 0$ 이고, $3 + 3\sqrt{3} > 6$ 이므로 이 두 근은 조건에 맞지 않습니다.
따라서 주어진 범위를 만족하는 실수 $k$ 의 값은 $3$ 이며, 정답은 ①번입니다.
넓이를 구할 때 적분 구간 내에서 위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 빼야 하는데, $(x^2 - 5x) - x$ 로 식을 세워 넓이가 음수로 나오는 실수가 잦습니다.
해결 : 넓이 $S = \int_{\alpha}^{\beta} |f(x) - g(x)| \,dx$ 의 절댓값 의미를 상기하고, 그래프 개형을 그려 대소 관계를 반드시 먼저 확인해야 합니다.
$k^3 - 9k^2 + 54 = 0$ 이라는 식을 도출하고도, 조립제법에 대입할 적절한 상수를 찾지 못해 당황할 수 있습니다.
해결 : 상수항 54의 약수를 순차적으로 대입해보는 것이 원칙이나, 수능과 같은 객관식 시험에서는 '선택지의 값'들을 대입해보는 유연한 센스가 시간 단축에 큰 도움이 됩니다.
본 문제에서 전체 넓이를 계산할 때 사용된 공식은 정적분 계산 시간을 단축하는 매우 중요한 성질입니다.
이차방정식 $a(x-\alpha)(x-\beta) = 0$ 의 두 실근이 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) 일 때, 함수 $f(x) = a(x-\alpha)(x-\beta)$ 와 $x$ 축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$ 는 다음과 같습니다.
$a > 0$ 인 경우를 가정하여 정적분을 계산해 보겠습니다. 구간 $[\alpha, \beta]$ 에서 $f(x) \le 0$ 이므로 넓이는 다음과 같습니다.
일반적으로 최고차항의 계수가 $a$ 이고, 두 교점의 $x$ 좌표가 $\alpha, \beta$ 일 때, 직선과 이차함수로 둘러싸인 넓이에도 이 공식이 그대로 적용됨을 기억해야 합니다.
■ 시뮬레이터 조작 가이드
슬라이더를 움직여 수직선 $x = k$ 의 위치를 조절해보세요. 직선 $y=x$ 와 곡선 $y=x^2-5x$ 로 둘러싸인 넓이가 어떻게 나뉘는지 실시간으로 계산하여 보여줍니다.