Step 1

직선의 기울기와 선분의 길이를 이용한 좌표 차이 구하기

두 점 $\mathrm{P}$ 와 $\mathrm{Q}$ 는 직선 $y = 2x + k$ 위에 존재합니다. 직선의 기울기가 $2$ 이므로, 두 점 사이의 $x$ 좌표의 변화량과 $y$ 좌표의 변화량의 비는 $1 : 2$ 가 됩니다.

이때 두 점 사이의 거리 $\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{5}$ 가 주어졌습니다. 직각삼각형을 그려 피타고라스 정리를 적용하면, 밑변이 $1$, 높이가 $2$ 일 때 빗변이 $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ 가 됨을 알 수 있습니다.

따라서 두 점 $\mathrm{P}$ 와 $\mathrm{Q}$ 의 $x$ 좌표 차이는 $1$, $y$ 좌표 차이는 $2$ 로 고정됩니다.

Step 2

교점의 대소 관계 파악 및 좌표 설정

두 함수 $f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+3} + 1$ 와 $g(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+1} + \frac{8}{3}$ 는 밑이 $1$ 보다 작으므로 모두 감소하는 지수함수입니다.

임의의 실수 $x$ 에 대하여 $g(x)$ 의 값이 $f(x)$ 의 값보다 항상 큽니다. 반면 직선 $y = 2x + k$ 는 기울기가 양수이므로 증가하는 직선입니다. 따라서 증가하는 직선이 더 아래에 있는 그래프 $f(x)$ 와 먼저 만나고, 더 위에 있는 그래프 $g(x)$ 와 나중에 만나게 됩니다.

결과적으로 $\mathrm{P}$ 의 $x$ 좌표가 $\mathrm{Q}$ 의 $x$ 좌표보다 작아야만 모순이 생기지 않습니다.

점 $\mathrm{P}$ 의 좌표를 $(x_1, y_1)$ 이라 하면, Step 1 의 결과에 의해 점 $\mathrm{Q}$ 의 좌표는 $(x_1 + 1, y_1 + 2)$ 로 설정할 수 있습니다.

Step 3

연립방정식 수립

설정된 두 점의 좌표를 각각 해당되는 지수함수의 식에 대입합니다.

• ■ 점 $\mathrm{P}$ 를 $f(x)$ 에 대입
  $$ y_1 = \left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+3} + 1 \quad \cdots \text{ (식 1)} $$
• ■ 점 $\mathrm{Q}$ 를 $g(x)$ 에 대입
  $$ y_1 + 2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{(x_1+1)+1} + \frac{8}{3} $$

  상수 $2$ 를 우변으로 이항하여 정리하면,

  $$ y_1 = \left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+2} + \frac{2}{3} \quad \cdots \text{ (식 2)} $$

Step 4

지수방정식 풀이 및 $x_1$ 값 도출

(식 1)과 (식 2)는 모두 $y_1$ 에 대한 식입니다. 두 우변을 같다고 놓고 지수방정식을 풉니다.

지수의 차수를 통일하기 위해 좌변의 지수를 분리합니다. $\left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+3} = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+2}$ 이므로 이를 대입합니다.

계산의 편의를 위해 $t = \left(\frac{2}{3}\right)^{x_1+2}$ (단, $t > 0$) 로 치환합니다.

$t$ 에 대해 방정식을 정리하면,

치환했던 식을 원래대로 되돌리면,

어떤 양수의 $0$ 제곱은 항상 $1$ 이므로, 지수 부분인 $x_1 + 2 = 0$ 이 되어야 합니다. 따라서 $x_1 = -2$ 임을 알 수 있습니다.

Step 5

점 $\mathrm{P}$ 의 완벽한 좌표 계산 및 상수 $k$ 도출

구해진 $x_1 = -2$ 를 (식 1)에 대입하여 $y_1$ 을 구합니다.

즉, 점 $\mathrm{P}$ 의 좌표는 $(-2, \frac{5}{3})$ 입니다.

이 점 $\mathrm{P}$ 는 직선 $y = 2x + k$ 위의 점이므로, 좌표를 대입하여 $k$ 값을 최종적으로 구합니다.

따라서 상수 $k$ 의 값은 $\frac{17}{3}$ 이며, 정답은 선택지 ④번입니다.