수능 출제 분석

다항함수의 접선의 방정식 추론 및 미분법의 응용

Q 문제 원문

10. 다항함수의 미분법

삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(0, 0)$ 에서의 접선과 곡선 $y = xf(x)$ 위의 점 $(1, 2)$ 에서의 접선이 일치할 때, $f'(2)$ 의 값은? [4점]

① $-18$
② $-17$
③ $-16$
④ $-15$
⑤ $-14$

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 두 접선이 기하학적으로 일치한다는 조건을 대수적 항등식으로 변환하여 미정계수를 추론하는 능력을 평가합니다.

  • 곡선 위의 점이 주어졌을 때 함수값과 미분계수를 통해 접선의 방정식을 수립하는 능력
  • 새로운 함수 $y = xf(x)$ 에 대하여 곱의 미분법을 정확하게 적용할 수 있는지 확인
  • '두 직선이 일치한다'는 기하학적 조건을 '기울기가 같고 y절편이 같다'는 대수적 조건으로 연결하는 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(0, 0)$ 에서의 접선의 방정식 도출

함수 $f(x)$ 가 점 $(0, 0)$ 을 지나므로 $f(0) = 0$ 입니다. 삼차함수이므로 상수항이 $0$ 인 다음과 같은 형태로 둘 수 있습니다.

$$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx $$

점 $(0, 0)$ 에서의 접선의 기울기는 $x=0$ 에서의 미분계수인 $f'(0)$ 과 같습니다. $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ 이므로, $f'(0) = c$ 입니다.

따라서 원점 $(0, 0)$ 을 지나고 기울기가 $c$ 인 접선의 방정식은 다음과 같이 정의됩니다.

$$ y = cx \quad \cdots \text{ (식 1)} $$
[참고도 1 : 원점에서의 접선] x축 y축 y = f(x) y = cx (0, 0)
Step 2

곡선 $y = xf(x)$ 가 점 $(1, 2)$ 를 지남을 이용한 조건 수립

새로운 함수를 $g(x) = xf(x)$ 라고 합시다. 곡선 $y = g(x)$ 가 점 $(1, 2)$ 를 지난다고 하였으므로, $x = 1$ 을 대입하면 $y = 2$ 가 성립해야 합니다.

$$ g(1) = 1 \cdot f(1) = 2 \implies \mathbf{f(1) = 2} $$

Step 1 에서 설정한 $f(x)$ 에 $x=1$ 을 대입하면,

$$ a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = 2 \implies a + b + c = 2 $$
Step 3

곡선 $y = xf(x)$ 의 점 $(1, 2)$ 에서의 접선의 방정식 도출

점 $(1, 2)$ 에서의 접선의 기울기를 구하기 위해 $g(x) = xf(x)$ 를 미분합니다. 두 함수의 곱으로 이루어져 있으므로 곱의 미분법을 적용합니다.

$$ g'(x) = (x)' \cdot f(x) + x \cdot f'(x) = 1 \cdot f(x) + xf'(x) $$

점 $(1, 2)$ 에서의 접선의 기울기 $g'(1)$ 은 다음과 같습니다.

$$ g'(1) = f(1) + 1 \cdot f'(1) $$

Step 2 에서 $f(1) = 2$ 임을 구했으므로, 기울기는 $2 + f'(1)$ 이 됩니다. 따라서 점 $(1, 2)$ 를 지나는 접선의 방정식은 다음과 같습니다.

$$ y - 2 = (2 + f'(1))(x - 1) $$ $$ y = (2 + f'(1))x - f'(1) \quad \cdots \text{ (식 2)} $$
Step 4

두 접선이 일치할 조건 연립 및 $f(x)$ 확정

문제의 조건에 따라 원점에서의 (식 1)과 점 $(1, 2)$ 에서의 (식 2)는 동일한 직선을 나타냅니다.

식 1 (원점) y = cx
식 2 (점 1, 2) y = (2 + f'(1))x - f'(1)

두 직선이 일치하려면 기울기와 y절편이 각각 같아야 합니다.

  • y절편 비교 : (식 1)의 y절편은 $0$ 입니다. 따라서 (식 2)의 y절편도 $0$ 이어야 합니다.
    $\implies -f'(1) = 0 \implies \mathbf{f'(1) = 0}$
  • 기울기 비교 : $f'(1) = 0$ 이므로 (식 2)의 기울기는 $2 + 0 = 2$ 가 됩니다.
    $\implies c = 2$

이제 $a, b, c$ 를 구하기 위한 조건이 모두 모였습니다.

$$ \text{조건 1 : } c = 2 $$ $$ \text{조건 2 : } a + b + c = 2 \implies a + b + 2 = 2 \implies b = -a $$ $$ \text{조건 3 : } f'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 3a + 2b + 2 = 0 $$

조건 2의 $b = -a$ 를 조건 3에 대입합니다.

$$ 3a + 2(-a) + 2 = 0 \implies a + 2 = 0 \implies \mathbf{a = -2} $$

결과적으로 $a = -2, b = 2, c = 2$ 가 되므로 삼차함수 $f(x)$ 가 온전히 결정됩니다.

$$ f(x) = -2x^3 + 2x^2 + 2x $$
Step 5

$f'(2)$ 의 값 계산

도출된 $f(x)$ 를 미분하여 도함수 $f'(x)$ 를 구합니다.

$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 2x^2 + 2x) = -6x^2 + 4x + 2 $$

최종적으로 $x = 2$ 를 대입하여 미분계수를 구합니다.

최종 계산 수식
$$ f'(2) = -6(2)^2 + 4(2) + 2 $$ $$ f'(2) = -24 + 8 + 2 = -14 $$

따라서 $f'(2)$ 의 값은 $-14$ 이며, 정답은 선택지 ⑤번입니다.

3 이론 매칭

미분계수와 도함수 접선의 방정식 함수의 곱의 미분법 항등식의 성질 (고등수학) 다항함수의 미분법

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

흔히 범하는 오개념 : $y = xf(x)$ 의 미분 시 곱의 미분법 누락

  • 오류 : 함수식 안에 $x$ 와 $f(x)$ 가 곱해져 있음을 간과하고 $x$ 를 상수로 취급하여 미분하는 경우

    많은 학생들이 $g(x) = xf(x)$ 의 도함수를 구할 때 급하게 $g'(x) = f'(x)$ 혹은 $g'(x) = xf'(x)$ 로 잘못 적는 실수를 범합니다. 예를 들어 $g'(x) = xf'(x)$ 라고 착각했다면, 점 $(1, 2)$ 에서의 기울기를 $1 \cdot f'(1) = f'(1)$ 로 계산하게 됩니다.

    $$ y - 2 = f'(1)(x - 1) \implies y = f'(1)x - f'(1) + 2 \quad (\text{잘못된 접선의 방정식}) $$

    이 경우 원점에서의 접선 $y = cx$ 와 비교할 때, y절편 조건이 $0 = -f'(1) + 2 \implies f'(1) = 2$ 가 되어 올바른 결과인 $f'(1) = 0$ 과 완전히 다른 방향으로 풀이가 전개되고 치명적인 오답을 낳게 됩니다.

    해결책 : 변수 $x$ 가 포함된 두 식의 곱 형태를 미분할 때는 반드시 '앞 미분 뒤 그대로 + 앞 그대로 뒤 미분' 이라는 곱의 미분법 공식을 명시적으로 적용하는 습관을 들여야 합니다.

5 핵심 이론 증명 : 함수의 곱의 미분법 유도

문제 해결의 핵심인 $y = xf(x)$ 미분의 근간이 되는 '곱의 미분법'을 미분계수의 정의를 이용하여 논리적으로 증명합니다.

[정리] 곱의 미분법

두 함수 $f(x), g(x)$ 가 미분가능할 때, 함수 $y = f(x)g(x)$ 도 미분가능하며 다음이 성립한다. $$ \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$

논리적 증명 (도함수의 정의 활용) :

함수 $F(x) = f(x)g(x)$ 라 할 때, $F(x)$ 의 도함수는 정의에 의해 다음과 같습니다.

$$ F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} $$

분자에 식을 변형하기 위해 똑같은 항 $f(x+h)g(x)$ 를 빼고 더해줍니다. 이 테크닉이 핵심입니다.

$$ = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) \mathbf{- f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x)} - f(x)g(x)}{h} $$

식을 공통 인수로 묶어 분리합니다.

$$ = \lim_{h \to 0} \left\{ f(x+h) \frac{g(x+h) - g(x)}{h} + g(x) \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \right\} $$

함수 $f(x), g(x)$ 는 미분가능하므로 연속입니다. 따라서 극한의 성질에 의해 $\lim_{h \to 0} f(x+h) = f(x)$ 가 되며, 미분계수의 정의에 의해 식이 완성됩니다.

$$ = f(x)g'(x) + g(x)f'(x) $$

두 접선 일치 조건 기하학적 시뮬레이터

■ 시뮬레이터 조작 가이드

함수 $f(x)$ 가 $f(0)=0, f(1)=2$ 를 항상 만족하도록, 구조를 $f(x) = ax^3 - ax^2 + 2x$ 로 설계했습니다. 슬라이더를 조작하여 $x^3$ 의 계수 $a$ 를 변경해 보세요. $a$ 값의 변화에 따라 곡선 $y=xf(x)$ 와 점 $(1, 2)$ 에서의 접선(초록색 점선)이 어떻게 변하는지 관찰하세요.

원점 $(0, 0)$ 에서의 접선(빨간색 실선)은 항상 $y=2x$ 로 고정되어 있습니다. 초록색 접선이 빨간색 접선과 완벽하게 겹쳐지는 순간의 $a$ 값을 찾아보세요!

  • 마우스 휠/터치 핀치 : 차트 확대/축소
  • 드래그 : 좌표평면 이동
계수 $a$ 조정 ($x^3$ 의 계수) a = 0.00
점(1,2) 접선 방정식
y = ? x + ?
두 접선의 상태
분리됨

파란 선 : $y = f(x)$, 보라 선 : $y = xf(x)$

빨간 선 : 점 $(0,0)$ 접선, 초록 점선 : 점 $(1,2)$ 접선