삼각함수의 대칭성 및 주기성을 활용한 기하학적 추론
Q 문제 원문
양수 $a$에 대하여 집합 $\left\{x \mid -\frac{a}{2} < x \le a, x \neq \frac{a}{2} \right\}$ 에서 정의된 함수
가 있다. 그림과 같이 함수 $y=f(x)$의 그래프 위의 세 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 지나는 직선이 있다. 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 함수 $y=f(x)$의 그래프와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{C}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 정삼각형일 때, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]
1 출제의도 : 핵심 평가 역량
이 문항은 탄젠트 함수의 기하학적 특징(주기성, 원점 대칭성)을 완벽하게 이해하고, 이를 정삼각형의 조건과 결합하여 미지수를 연역적으로 추론하는 능력을 평가합니다.
- 탄젠트 함수의 주기를 파악하고, $x$축에 평행한 직선과의 교점을 통해 선분의 길이를 주기로 표현하는 능력
- 원점을 지나는 직선과 원점 대칭인 기함수(탄젠트)의 교점이 갖는 대칭성을 파악하는 능력
- 정삼각형의 수직이등분선과 높이 공식을 좌표평면 상의 좌표로 변환하여 방정식을 수립하는 능력
2 상세 풀이 : Step-by-Step
탄젠트 함수와 직선의 대칭성을 이용한 좌표 설정
주어진 함수 $f(x) = \tan\left(\frac{\pi x}{a}\right)$ 의 주기는 $\frac{\pi}{\frac{\pi}{a}} = a$ 입니다. 이 함수는 기함수이므로 원점 $\mathrm{O}(0,0)$ 에 대하여 대칭입니다.
문제에서 세 점 $\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$ 를 지나는 직선이 있다고 했습니다. 원점을 지나는 직선 $y=mx$ 역시 기함수(원점 대칭)입니다. 따라서 원점 대칭인 두 그래프의 교점인 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 는 서로 원점에 대하여 대칭인 위치에 있어야 합니다.
점 $\mathrm{B}$ 의 $x$좌표를 $\alpha$ ($\alpha > 0$)라고 하면, 점 $\mathrm{B}$ 의 좌표는 $\left(\alpha, \tan\frac{\pi \alpha}{a}\right)$ 가 됩니다.
대칭성에 의해 점 $\mathrm{A}$ 의 좌표는 $\left(-\alpha, -\tan\frac{\pi \alpha}{a}\right)$ 가 됩니다.
점 $\mathrm{C}$ 의 좌표 및 선분 $\mathrm{AC}$ 의 길이 도출
점 $\mathrm{A}$ 를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 함수와 다시 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 했습니다. $x$축에 평행하다는 것은 $y$좌표가 같다는 의미이므로, $f(x_A) = f(x_C)$ 가 성립합니다.
탄젠트 함수의 주기가 $a$ 이므로, 함수값이 같아지려면 $x$좌표의 차이가 주기의 정수배여야 합니다. 주어진 정의역 $\left(-\frac{a}{2} < x \le a\right)$ 의 구간 길이는 $\frac{3a}{2}$ 이므로, 이 구간 내에서 함수값이 같은 두 점의 $x$좌표 차이는 정확히 주기인 $1 \cdot a$ 가 될 수밖에 없습니다.
따라서 선분 $\mathrm{AC}$ 의 길이는 주기인 $a$ 가 됩니다. ($\overline{\mathrm{AC}} = a$)
점 $\mathrm{A}$ 의 $x$좌표가 $-\alpha$ 이므로, 점 $\mathrm{C}$ 의 $x$좌표는 오른쪽으로 주기 $a$ 만큼 이동한 $-\alpha + a$ 가 됩니다. (왼쪽으로 이동하면 정의역 $-\frac{a}{2}$ 를 벗어납니다.)
즉, $\mathrm{C}\left(-\alpha + a, -\tan\frac{\pi \alpha}{a}\right)$ 입니다.
정삼각형의 대칭성을 이용한 $\alpha$ 값 계산
삼각형 $\mathrm{ABC}$ 는 선분 $\mathrm{AC}$ 를 밑변으로 하는 정삼각형입니다. 선분 $\mathrm{AC}$ 가 $x$축에 평행하므로, 점 $\mathrm{B}$ 에서 밑변 $\mathrm{AC}$ 에 내린 수선의 발은 선분 $\mathrm{AC}$ 의 중점과 일치합니다.
즉, 점 $\mathrm{B}$ 의 $x$좌표는 점 $\mathrm{A}$ 와 점 $\mathrm{C}$ 의 $x$좌표의 평균(중점)이 되어야 합니다.
이 방정식을 풀면 다음과 같이 $\alpha$ 를 $a$ 로 나타낼 수 있습니다.
정삼각형의 높이를 이용한 미지수 $a$ 와 넓이 계산
$\alpha = \frac{a}{4}$ 임을 구했으므로, 점 $\mathrm{B}$ 의 $y$좌표를 완벽히 구할 수 있습니다.
점 $\mathrm{A}$ 는 점 $\mathrm{B}$ 와 원점 대칭이므로 $y_A = -1$ 입니다. 따라서 정삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 높이는 $y$좌표의 차이인 $1 - (-1) = 2$ 가 됩니다.
한 변의 길이가 $a$ 인 정삼각형의 높이 공식은 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ 입니다. 이를 높이 $2$ 와 등치시킵니다.
마지막으로, 구하고자 하는 정삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이 $S$ 를 계산합니다.
따라서 정답은 ③ $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ 입니다.
3 이론 매칭
4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정
흔히 범하는 오개념 : 점 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 사분면 위치 오류
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오류 : 점 $\mathrm{A}$ 를 제1사분면($x_A > 0$)에 있다고 임의로 가정하는 경우
많은 학생들이 습관적으로 미지수 $A$ 를 $x > 0$ 인 영역에 설정합니다. 만약 점 $\mathrm{A}$ 의 좌표가 $(\alpha, \tan\frac{\pi\alpha}{a})$ 이고 $\alpha > 0$ 이라면, 점 $\mathrm{C}$ 는 점 $\mathrm{A}$ 와 $y$좌표가 같으므로 $x_C = \alpha + a$ 또는 $x_C = \alpha - a$ 가 되어야 합니다.
1. $x_C = \alpha + a$ 인 경우 : 주어진 정의역은 $x \le a$ 까지입니다. $\alpha > 0$ 이므로 $\alpha + a > a$ 가 되어 정의역을 이탈합니다.
2. $x_C = \alpha - a$ 인 경우 : $\alpha$ 는 제1사분면에 있으므로 첫 번째 점근선 $\frac{a}{2}$ 보다 작아야 합니다. ($\alpha < \frac{a}{2}$). 따라서 $\alpha - a < \frac{a}{2} - a = -\frac{a}{2}$ 가 됩니다. 이는 주어진 정의역의 하한선인 $-\frac{a}{2}$ 보다 작아져 역시 정의역을 이탈합니다.기하학적 증명결과 : 점 $\mathrm{A}$ 가 제1사분면에 존재하면, 점 $\mathrm{C}$ 는 정의된 정의역 내에 존재할 수 없습니다. 따라서 문제의 조건을 만족하려면 필연적으로 점 $\mathrm{A}$ 는 제3사분면($x < 0$)에 위치해야 하며, 점 $\mathrm{C}$ 가 $x_A + a$ 에 형성되어 $(0, a]$ 구간 내에 안정적으로 존재하게 됩니다.
5 핵심 이론 증명 : 원점 대칭 함수들의 교점의 대칭성
본 문제 풀이의 핵심은 '탄젠트 곡선과 원점을 지나는 직선의 교점은 반드시 원점 대칭이다'라는 사실을 직관이 아닌 논리로 사용하는 것입니다.
임의의 두 기함수(원점 대칭 함수) $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 있을 때, 방정식 $f(x) = g(x)$ 의 해(교점) 집합은 원점에 대하여 대칭이다.
논리적 증명 :
- $f(x)$ 와 $g(x)$ 는 기함수이므로, 모든 $x$ 에 대하여 $f(-x) = -f(x)$ 이고 $g(-x) = -g(x)$ 가 성립합니다.
- 어떤 점 $x = \alpha$ 가 두 함수의 교점이라고 가정합시다. 즉, $f(\alpha) = g(\alpha)$ 가 참입니다.
- 이제 $x = -\alpha$ 에서의 함수값을 확인해 봅니다.
$$ f(-\alpha) = -f(\alpha) $$ $$ g(-\alpha) = -g(\alpha) $$
- 가정에서 $f(\alpha) = g(\alpha)$ 이므로, 양변에 마이너스를 곱하면 $-f(\alpha) = -g(\alpha)$ 입니다.
- 따라서, 위 식에 의해 $f(-\alpha) = g(-\alpha)$ 가 성립하게 됩니다.
- 결론적으로, $x = \alpha$ 가 교점이면 필연적으로 $x = -\alpha$ 도 교점이 되며, 그 좌표는 각각 $(\alpha, f(\alpha))$ 와 $(-\alpha, -f(\alpha))$ 가 되어 완벽한 원점 대칭을 이룹니다. 이 원리에 의해 점 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 좌표를 미지수 하나로 단순화할 수 있었습니다.
2D 기하 조건 시뮬레이터
■ 인터랙티브 수학 시뮬레이션
아래 슬라이더를 움직여 점 $\mathrm{B}$ 의 $x$좌표 비율($\alpha / a$)을 변경해 보세요. 원점 대칭 조건에 의해 점 $\mathrm{A}$ 가, 주기성 조건에 의해 점 $\mathrm{C}$ 가 자동으로 결정됩니다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 정삼각형이 되는 단 하나의 순간을 직접 찾아 기하학적 성질을 확인하세요!
- 마우스 휠이나 핀치 줌(터치)으로 좌표평면을 확대/축소할 수 있습니다.
- 클릭 후 드래그하여 좌표평면을 이동할 수 있습니다.