수능 출제 분석

연속함수의 성질과 다항식의 인수분해를 활용한 함수 추론

Q 문제 원문

12. 연속함수의 추론

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여

$$ \{f(x)\}^3 - \{f(x)\}^2 - x^2 f(x) + x^2 = 0 $$

을 만족시킨다. 함수 $f(x)$ 의 최댓값이 $1$ 이고 최솟값이 $0$ 일 때, $f\left(-\frac{4}{3}\right) + f(0) + f\left(\frac{1}{2}\right)$ 의 값은? [4점]

① $\frac{1}{2}$
② $1$
③ $\frac{3}{2}$
④ $2$
⑤ $\frac{5}{2}$

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 항등식으로 주어진 조건을 인수분해하여 함수가 가질 수 있는 형태를 파악하고, 함수의 연속성과 최대·최소 조건을 바탕으로 전체 구간에서의 함수식을 논리적으로 완성하는 능력을 평가합니다.

  • 공통인수를 찾아 고차 방정식을 인수분해하는 대수적 조작 능력
  • 방정식의 해가 함수적으로 여러 형태의 조합으로 나타날 수 있음을 이해하는 능력
  • 연속함수가 서로 다른 수식으로 전환될 때 반드시 교점을 지나야 한다는 기하학적 성질의 이해
  • 제시된 최댓값과 최솟값 조건에 모순되지 않도록 구간별 함수식을 확정하는 추론 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

주어진 항등식의 인수분해와 $f(x)$ 의 후보 도출

모든 실수 $x$ 에 대하여 성립하는 주어진 식을 적절히 묶어 인수분해를 진행합니다.

$$ \{f(x)\}^3 - \{f(x)\}^2 - x^2 f(x) + x^2 = 0 $$

앞의 두 항은 $\{f(x)\}^2$ 으로, 뒤의 두 항은 $-x^2$ 으로 묶어 공통인수를 만듭니다.

$$ \{f(x)\}^2 (f(x) - 1) - x^2 (f(x) - 1) = 0 $$

공통인수 $(f(x) - 1)$ 로 전체 식을 다시 묶어줍니다.

$$ (\{f(x)\}^2 - x^2)(f(x) - 1) = 0 $$

합차 공식을 이용하여 괄호 안의 식을 완전히 인수분해합니다.

$$ (f(x) - x)(f(x) + x)(f(x) - 1) = 0 $$

위 등식이 모든 실수 $x$ 에 대하여 성립한다는 것은, 함수 $f(x)$ 의 함숫값이 각 $x$ 에 대하여 $x$, $-x$, $1$ 중 적어도 하나의 값을 가짐을 의미합니다. 즉, 함수 $y = f(x)$ 의 그래프는 세 직선 $y = x$, $y = -x$, $y = 1$ 의 일부분을 조합하여 그려지게 됩니다.

[참고도 1 : f(x)가 될 수 있는 세 가지 함수의 그래프] x축 y축 y = 1 y = x y = -x
Step 2

연속성 조건을 위한 교점 파악

함수 $f(x)$ 는 실수 전체에서 연속입니다. 함수가 서로 다른 수식 (예 : $y=x$ 에서 $y=1$ 로) 갈아타기 위해서는 반드시 두 그래프가 만나는 지점, 즉 교점을 지나야만 합니다. 교점이 아닌 곳에서 식을 바꾸면 그래프가 끊어져 불연속이 되기 때문입니다.

세 직선들의 교점 좌표를 구합니다.

  • $y = x$ 와 $y = -x$ 의 교점 : $(0, 0)$
  • $y = x$ 와 $y = 1$ 의 교점 : $(1, 1)$
  • $y = -x$ 와 $y = 1$ 의 교점 : $(-1, 1)$

이 교점들의 $x$ 좌표인 $x = -1, 0, 1$ 을 기준으로 구간을 나누어 함수를 선택할 수 있습니다.

[참고도 2 : 연속함수의 '환승'이 가능한 세 교점] (-1, 1) (0, 0) (1, 1)
Step 3

최대·최소 조건을 활용한 구간별 함수식 확정

함수 $f(x)$ 의 최댓값이 $1$, 최솟값이 $0$ 이므로, 모든 실수 $x$ 에 대하여 $0 \le f(x) \le 1$ 을 만족해야 합니다. 이 조건을 만족하도록 구간별로 함수를 선택합니다.

  • $x < -1$ 구간 : 이 구간에서 $y=x$ 는 음수이고, $y=-x$ 는 $1$ 보다 큽니다. $0 \le f(x) \le 1$ 을 만족하는 유일한 식은 $y=1$ 입니다. 따라서 $f(x) = 1$ 입니다.
  • $-1 \le x < 0$ 구간 : 점 $(-1, 1)$ 에서 시작합니다. 최솟값 $0$ 을 달성하려면 반드시 $y=0$ 인 점을 지나야 합니다. 가능한 유일한 교점은 $(0, 0)$ 이므로, $(-1, 1)$ 에서 $(0, 0)$ 으로 향하는 식을 타야 합니다. 따라서 $f(x) = -x$ 입니다.
  • $0 \le x < 1$ 구간 : 원점 $(0, 0)$ 에서 시작합니다. $y=-x$ 를 계속 타면 값이 음수가 되어 최솟값 조건에 위배됩니다. 값이 증가하는 방향인 $y=x$ 로 갈아타야 합니다. 따라서 $f(x) = x$ 입니다.
  • $x \ge 1$ 구간 : 점 $(1, 1)$ 에서 시작합니다. $y=x$ 를 계속 타면 값이 $1$ 을 초과하여 최댓값 조건에 위배됩니다. 값이 $1$ 을 넘지 않도록 $y=1$ 로 갈아타야 합니다. 따라서 $f(x) = 1$ 입니다.

최종적으로 확정된 함수 $f(x)$ 의 식은 다음과 같습니다.

$$ f(x) = \begin{cases} 1 & (x < -1) \\ -x & (-1 \le x < 0) \\ x & (0 \le x < 1) \\ 1 & (x \ge 1) \end{cases} $$
[참고도 3 : 최종 완성된 함수 f(x)의 그래프] y = f(x)
Step 4

함숫값 계산 및 정답 도출

확정된 $f(x)$ 의 식에 주어진 $x$ 값들을 대입하여 함숫값을 계산합니다.

  • $x = -\frac{4}{3}$ 은 $x < -1$ 범위에 속하므로, $f\left(-\frac{4}{3}\right) = 1$
  • $x = 0$ 은 $0 \le x < 1$ (또는 $-1 \le x < 0$) 범위에 속하므로, $f(0) = 0$
  • $x = \frac{1}{2}$ 은 $0 \le x < 1$ 범위에 속하므로, $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$

따라서 구하고자 하는 세 값의 합은 다음과 같습니다.

$$ f\left(-\frac{4}{3}\right) + f(0) + f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

따라서 주어진 식의 값은 $\frac{3}{2}$ 이며, 정답은 선택지 ③번입니다.

3 이론 매칭

연속함수의 정의 다항식의 인수분해 함수의 최댓값과 최솟값 함수의 극한

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

흔히 범하는 오개념 : 항등식의 인수가 0임을 단일 함수로 곡해하는 오류

  • 오류 : $(f(x) - x)(f(x) + x)(f(x) - 1) = 0$ 을 보고 "$f(x)$ 는 무조건 $y=x$ 이거나, $y=-x$ 이거나, $y=1$ 중 하나로 전체가 결정되어야 한다" 고 착각하는 경우

    많은 학생들이 방정식 $A \cdot B \cdot C = 0$ 이 모든 실수 $x$ 에 대해 성립한다는 것을, "모든 실수 $x$ 에 대해 $A=0$ 이거나, 모든 실수 $x$ 에 대해 $B=0$ ..." 이라는 강한 명제로 착각합니다. 이로 인해 함수가 구간별로 다른 수식을 가질 수 있다는 사실을 놓치게 됩니다.

    해결책 및 수학적 증명 :

    방정식 $A(x)B(x)C(x) = 0$ 이 모든 실수에서 성립한다는 것은 "각각의 주어진 $x$ 값 하나하나에 대하여 세 팩터 중 적어도 하나가 0을 만족한다" 는 뜻입니다. 즉, $x$ 가 바뀜에 따라 0이 되는 팩터가 교체되어도 등식은 성립합니다.

    반례를 통한 증명 :
    함수 $h(x) = |x|$ 라 정의합시다. 절댓값의 성질에 의해 모든 실수 $x$ 에 대하여 $h(x)^2 = x^2$ 이 성립합니다. 이를 이항하면 $h(x)^2 - x^2 = 0$ 이고 인수분해하면 $(h(x) - x)(h(x) + x) = 0$ 입니다.
    그러나 $h(x)$ 는 모든 실수에서 $h(x)=x$ 도 아니고, 모든 실수에서 $h(x)=-x$ 도 아닙니다. $x \ge 0$ 일 때는 $h(x)=x$ 를, $x < 0$ 일 때는 $h(x)=-x$ 를 선택하는 "조합된 함수" 입니다. 이처럼 항등식의 인수가 0이라는 조건은 함수가 구간에 따라 유연하게 식을 바꿀 수 있는 가능성을 내포합니다.

5 핵심 이론 증명 : 함수의 '환승'과 교점의 관계

문제 해결의 핵심인 "연속함수가 서로 다른 식을 오갈 때, 반드시 두 그래프의 교점을 지나야 한다"는 직관적 성질을 연속의 정의를 이용하여 논리적으로 증명합니다.

[정리] 연속함수의 식 전환 조건

실수 전체에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 특정한 점 $x = a$ 를 기준으로 두 연속함수 $g(x), h(x)$ 로 식이 변할 때, 즉 $x \le a$ 일 때 $f(x) = g(x)$ 이고, $x > a$ 일 때 $f(x) = h(x)$ 라면, 반드시 $\mathbf{g(a) = h(a)}$ 가 성립한다. (기하학적으로 점 $(a, g(a))$ 는 두 함수의 교점이다.)

논리적 증명 (함수의 연속의 정의 활용) :

함수 $f(x)$ 가 실수 전체에서 연속이므로, 식이 바뀌는 경계점인 $x = a$ 에서도 당연히 연속이어야 합니다. 연속의 정의에 의해, 극한값과 함숫값이 모두 존재하고 일치해야 합니다.

$$ \lim_{x \to a-} f(x) = \lim_{x \to a+} f(x) = f(a) $$

1. 좌극한 : $x$ 가 $a$ 보다 작은 쪽에서 접근할 때, $f(x)$ 는 $g(x)$ 를 따릅니다. $g(x)$ 는 연속함수이므로 극한값은 함숫값과 같습니다.

$$ \lim_{x \to a-} f(x) = \lim_{x \to a-} g(x) = g(a) $$

2. 우극한 : $x$ 가 $a$ 보다 큰 쪽에서 접근할 때, $f(x)$ 는 $h(x)$ 를 따릅니다. $h(x)$ 역시 연속함수입니다.

$$ \lim_{x \to a+} f(x) = \lim_{x \to a+} h(x) = h(a) $$

함수 $f(x)$ 가 $x=a$ 에서 연속이려면 좌극한과 우극한이 일치해야 하므로, 최종적으로 $g(a) = h(a)$ 라는 등식이 성립합니다. 이는 두 함수 $y=g(x)$ 와 $y=h(x)$ 가 $x=a$ 에서 동일한 함숫값을 가짐을 뜻하며, 좌표평면 상에서 두 그래프가 만나는 교점임을 증명합니다.

$f(x)$ 구간별 조합 시뮬레이터

■ 시뮬레이터 조작 가이드

항등식을 만족하는 세 함수 $y=x$, $y=-x$, $y=1$ 중 하나를 각 구간별로 선택하여 함수 $f(x)$ 를 직접 조립해보세요.

조합된 함수가 ①모든 구간에서 연속인지, ②최댓값이 1인지, ③최솟값이 0인지를 패널에서 실시간으로 검사합니다. 모든 조건을 만족하는 완벽한 조합을 찾아보세요!

x < -1
-1 ≤ x < 0
0 ≤ x < 1
x ≥ 1
연속성
검사중
최댓값 1
검사중
최솟값 0
검사중