지수법칙과 로그함수의 성질을 활용한 기하학적 추론
두 상수 $a, b \ (1 < a < b)$ 에 대하여 좌표평면 위의
두 점 $(a, \log_2 a), (b, \log_2 b)$ 를 지나는 직선의 $y$절편과
두 점 $(a, \log_4 a), (b, \log_4 b)$ 를 지나는 직선의 $y$절편이 같다.
함수 $f(x) = a^{bx} + b^{ax}$ 에 대하여 $f(1) = 40$ 일 때, $f(2)$ 의 값은? [4점]
이 문항은 로그함수의 밑의 변환 공식이 기하학적으로 미치는 영향을 분석하고, 직선의 방정식에서 파생된 조건을 지수법칙과 결합하여 식의 값을 추론하는 능력을 평가합니다.
주어진 두 점이 위치한 곡선은 각각 $y = \log_2 x$ 와 $y = \log_4 x$ 입니다. 로그의 밑 변환 공식을 이용하여 두 함수의 관계를 명확히 합니다.
이 수식은 기하학적으로 매우 중요한 의미를 갖습니다. 임의의 $x$ 좌표에 대하여 $y = \log_4 x$ 의 함숫값은 항상 $y = \log_2 x$ 의 함숫값의 절반 ($\frac{1}{2}$배)이 된다는 뜻입니다.
첫 번째 직선(두 점 $(a, \log_2 a), (b, \log_2 b)$ 를 지나는 직선)의 $y$절편을 $Y_1$ 이라 합시다. 직선의 방정식을 세워 $x=0$ 일 때의 $y$값을 구합니다.
위 식에 $x=0$ 을 대입하여 $y$절편 $Y_1$ 을 계산합니다.
두 번째 직선의 $y$절편을 $Y_2$ 라 합시다. 앞서 살펴본 바와 같이 $\log_4 x = \frac{1}{2}\log_2 x$ 이므로, 좌표평면 상의 모든 점의 $y$좌표가 절반으로 줄어든 상태에서 선분을 이은 것과 같습니다. 따라서 기하학적 닮음에 의해 $y$절편 역시 정확히 절반이 됩니다.
문제의 핵심 조건은 두 직선의 $y$절편이 같다는 것입니다. 즉, $Y_1 = Y_2$ 입니다. 앞서 구한 비례 관계식을 대입합니다.
이 결과는 매우 놀라운 사실을 알려줍니다. 어떤 수와 그 수의 절반이 같으려면, 그 수는 반드시 $0$ 이어야만 합니다. 따라서 두 직선의 $y$절편은 모두 $0$ 이며, 두 직선은 모두 **원점**을 지나는 직선입니다.
이제 $Y_1 = 0$ 이라는 식을 풀어서 $a$ 와 $b$ 의 관계를 찾습니다. ($b > a > 1$ 이므로 분모 $b-a \neq 0$ 입니다.)
주어진 함수 $f(x) = a^{bx} + b^{ax}$ 의 구조를 지수법칙을 이용하여 분해해 봅시다.
Step 3에서 얻은 $a^b = b^a$ 를 대입하면, 함수 $f(x)$ 는 하나의 미지수 덩어리 $(a^b)$ 에 대한 함수로 단순화됩니다.
이제 문제에 주어진 조건 $f(1) = 40$ 을 이용합니다.
최종적으로 구하고자 하는 $f(2)$ 의 값을 계산합니다. $b^a$ 역시 $a^b$ 와 같으므로 $20$ 임을 이용합니다.
정답 : ② 800
오류 : $a^b = b^a$ 이고 $a^b = 20$ 인 상수 $a, b$ 를 찾으려고 시간을 낭비하는 경우
많은 학생들이 방정식을 보면 미지수 각각의 값을 구해야 한다고 생각합니다. 하지만 $a^b = 20$ 과 $a^b = b^a$ 를 만족하는 $1 < a < b$ 인 실수 $a, b$ 는 초월적인 무리수 형태로 존재하며, 이를 대수적으로 정확히 구하는 것은 고등학교 과정을 벗어날 뿐만 아니라 이 문제의 목적이 아닙니다.
올바른 접근법 : 묻고자 하는 식 $f(2) = (a^b)^2 + (b^a)^2$ 을 먼저 전개하여, 식 전체의 형태를 파악해야 합니다. $a$ 와 $b$ 를 개별적으로 몰라도, 덩어리인 $(a^b)$ 의 값만 알면 전체 식의 값을 구할 수 있도록 설계된 문항(식의 값 구하기)임을 파악하는 구조적 시야가 필수적입니다.
본 풀이에서 가장 강력하고 직관적인 도구로 사용된 '$Y_2 = \frac{1}{2}Y_1$' 의 근간이 되는 정리를 증명합니다.
임의의 함수 $y=g(x)$ 와 그 함수에 상수 $k$ 를 곱한 함수 $y=k \cdot g(x)$ 가 있을 때, 동일한 $x$ 좌표 $a, b$ 에 대하여 두 점을 이은 할선의 $y$절편을 각각 $Y_g, Y_{kg}$ 라 하면, $Y_{kg} = k \cdot Y_g$ 가 성립한다.
대수적 증명 :
■ 인터랙티브 수학 시뮬레이션
아래 슬라이더를 움직여 두 점의 $x$좌표인 $a$ 와 $b$ 의 값을 변경해 보세요. $y=\log_2 x$ (파란선)와 $y=\log_4 x$ (보라선) 위에 형성되는 두 직선의 $y$절편 위치가 실시간으로 변합니다. 두 직선의 $y$절편이 완전히 일치하는(0이 되는) 순간의 $a, b$ 관계를 직접 탐구해 보세요.