정적분과 위치, 움직인 거리의 기하학적 의미와 다항함수의 추론
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$가 두 상수 $a, b$에 대하여
$x(t) = t(t-1)(at+b) \quad (a \neq 0)$
이다. 점 P의 시각 $t$에서의 속도 $v(t)$가 $\int_{0}^{1} |v(t)| dt = 2$ 를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
< 보 기 >
이 문항은 속도 함수의 정적분이 갖는 물리적 의미(위치의 변화량과 움직인 거리)를 정확히 구분하고, 주어진 조건을 바탕으로 위치 함수인 3차 함수의 그래프 개형을 논리적으로 추론하는 능력을 평가합니다.
위치 함수 $x(t)$를 미분한 것이 속도 함수 $v(t)$이므로, $v(t)$의 정적분은 점 P의 위치의 변화량(변위)을 의미합니다. 미적분학의 기본 정리를 적용하여 직접 계산해 봅니다.
주어진 위치 함수 $x(t) = t(t-1)(at+b)$ 에 $t=1$ 과 $t=0$ 을 대입하면 다음과 같습니다.
따라서 보기 ㄱ은 참입니다. 이는 점 P가 $t=0$ 일 때 원점을 출발하여 움직이다가, $t=1$ 일 때 다시 원점으로 돌아왔음을 의미합니다.
문제의 핵심 조건인 $\int_{0}^{1} |v(t)| dt = 2$ 는 점 P가 $t=0$ 부터 $t=1$ 까지 실제로 움직인 총 거리가 $2$임을 뜻합니다.
출발점과 도착점이 모두 원점($0$)인데 총 $2$만큼 이동하려면, 점 P는 양의 방향 또는 음의 방향으로 나아갔다가 다시 되돌아와야 합니다. 이동 방향을 바꿀 때(즉, 속도 $v(t)=0$ 인 순간) 위치 함수의 극값을 가지게 됩니다.
보기 ㄴ은 위치의 절댓값이 $1$을 초과하는 순간이 반드시 존재해야 하는지 묻고 있습니다. 복잡한 계산 없이 물리적인 이동 관점에서 직관적으로 생각해 봅시다.
점 P는 $t=0$ 일 때 위치 $0$에서 출발하여, $t=1$ 일 때 다시 위치 $0$으로 돌아옵니다. 총 이동 거리는 $2$입니다.
만약 점 P가 방향을 딱 한 번만 바꾸었다면 어떨까요? (예: 양의 방향으로 쭉 갔다가 다시 되돌아오는 경우)
즉, 가장 멀리 떨어진 위치의 절댓값이 정확히 $1$인 상황이 가능합니다. 이 경우 $|x(t)|$의 최댓값은 $1$이므로, $|x(t)| > 1$을 만족하는 순간이 존재하지 않는 완벽한 반례가 됩니다.
이러한 직관적 상황을 수식으로 완벽하게 보여주는 대수적 함수(반례)도 구성할 수 있습니다.
이때의 극값의 절댓값이 $1$ 이 되도록 $a$ 를 정하면 됩니다. $|x(\frac{2}{3})| = \left| a \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(-\frac{1}{3}\right) \right| = \left| -\frac{4}{27}a \right| = 1$ 에서 $a = -\frac{27}{4}$ 또는 $a = \frac{27}{4}$ 를 선택할 수 있습니다.
$a = -\frac{27}{4}$ 일 때, $x(t) = -\frac{27}{4}t^2(t-1)$ 이며, 이 함수는 $0 \le t \le 1$ 구간에서 최댓값 $1$을 가지고, $1$을 초과하지 않습니다.
결론적으로 보기 ㄴ은 거짓입니다.
보기 ㄷ은 모든 순간에 위치가 $-1$과 $1$ 사이($|x(t)| < 1$)에 머무르면서, 총 이동 거리 $2$를 달성하려면 반드시 원점($x=0$)을 다시 지나야 하는지를 묻고 있습니다. 이를 시각적인 그래프를 통해 수학적 교차점과 완벽히 일치하게 확인해 봅시다.
최댓값이 1보다 작다면 (예: 0.7)
이동 거리 = 0.7 + 0.7 = 1.4 < 2
이동 거리 2를 채울 수 없습니다!
진폭을 1 미만으로 유지하면서
이동 거리를 2로 늘리려면 교차가 필수!
중간에 $x(t_2)=0$이 발생합니다.
위 [상황 1]처럼 원점을 통과하지 않으면 최댓값을 $M (< 1)$ 이라 할 때, 올라갔다 내려오는 총 이동 거리는 $2M$이 되어 $2$보다 작아집니다. 따라서 제약 조건($|x(t)| < 1$)을 지키면서 이동 거리 $2$를 달성하려면, 양의 방향으로 갔다가 음의 방향으로도 가야만(즉, 진동해야만) 거리를 보충할 수 있습니다.
[3차 함수의 성질로 마무리]
위치 함수 $x(t)$ 는 연속인 3차 함수입니다.결국 보기 ㄷ은 참입니다.
시각적 그래프뿐만 아니라, 고등학교 미적분학의 기본 정리와 정적분의 성질만을 이용하여 논리적인 귀류법으로 엄밀하게 증명할 수 있습니다.
오류 : $\int_{0}^{1} |v(t)| dt = 2$ 조건을 $|x(1) - x(0)| = 2$ 로 착각하는 경우
많은 학생들이 속도의 정적분과 절댓값의 정적분을 동일하게 취급하여, 도착 위치가 원점($0$)에서 $2$만큼 떨어져 있다고 착각합니다. $x(1) = 0$ 이 명백히 주어져 있음에도 불구하고 조건이 충돌한다고 느껴 문제 풀이를 시작조차 못하는 경우가 발생합니다.
수학적 증명 및 해결 : 적분의 삼각 부등식에 의해 $\left| \int_{0}^{1} v(t) dt \right| \le \int_{0}^{1} |v(t)| dt$ 가 항상 성립합니다. 좌변은 변위의 절댓값인 $|0 - 0| = 0$ 이고 우변은 총 이동 거리인 $2$ 입니다. $0 \le 2$ 이므로 모순이 없습니다. 절댓값 기호가 함수 내부에 있을 때는 경로를 모두 양수로 합산(적분)해야 함을 명심해야 합니다.
수직선 위를 움직이는 점의 이동 거리 공식 $s = \int_{a}^{b} |v(t)| dt$ 의 배경을 미적분학의 기본 정리를 통해 유도합니다.
■ 위치 함수 $x(t)$ 의 형태 변화 관찰
위치 함수 $x(t) = a t(t-1)(t-k)$ 에서, 총 이동 거리 조건 $\int |v(t)| dt = 2$ 가 유지되도록 상수 $a$ 의 값이 동적으로 계산됩니다.
슬라이더를 움직여 방향 전환 포인트($k$)를 변경해 보세요. $k$ 가 구간 $(0, 1)$ 사이에 있을 때와 밖에 있을 때
최댓값 $|x(t)|$ 가 어떻게 달라지는지 확인하여 보기 ㄴ, ㄷ의 참/거짓을 직관적으로 이해할 수 있습니다.