삼각함수의 활용과 기하학적 논리 추론
Q 문제 원문
두 점 O₁, O₂ 를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 선분 O₁O₂ 인 두 원 C₁, C₂ 가 있다. 그림과 같이 원 C₁ 위의 서로 다른 세 점 A, B, C 와 원 C₂ 위의 점 D 가 주어져 있고, 세 점 A, O₁, O₂ 와 세 점 C, O₂, D 가 각각 한 직선 위에 있다.
이때 ∠BO₁A = θ₁, ∠O₂O₁C = θ₂, ∠O₁O₂D = θ₃ 이라 하자.
다음은 선분 AB : 선분 O₁D = 1 : 2√2 이고 θ₃ = θ₁ + θ₂ 일 때, 선분 AB 와 선분 CD 의 길이의 비를 구하는 과정이다.
∠CO₂O₁ + ∠O₁O₂D = π 이므로 θ₃ = π/2 + θ₂/2 이고
θ₃ = θ₁ + θ₂ 에서 2θ₁ + θ₂ = π 이므로 ∠CO₁B = θ₁ 이다.
이때 ∠O₂O₁B = θ₁ + θ₂ = θ₃ 이므로 삼각형 O₁O₂B 와 삼각형 O₂O₁D 는 합동이다.
선분 AB = k 라 할 때
선분 BO₂ = 선분 O₁D = 2√2k 이므로 선분 AO₂ = (가) 이고,
∠BO₂A = θ₁/2 이므로 cos(θ₁/2) = (나) 이다.
삼각형 O₂BC 에서
선분 BC = k, 선분 BO₂ = 2√2k, ∠CO₂B = θ₁/2 이므로
코사인법칙에 의하여 선분 O₂C = (다) 이다.
선분 CD = 선분 O₂D + 선분 O₂C = 선분 O₁O₂ + 선분 O₂C 이므로
선분 AB : 선분 CD = k : ( (가) / 2 + (다) ) 이다.
위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 f(k), g(k) 라 하고, (나)에 알맞은 수를 p 라 할 때, f(p) × g(p) 의 값은? [4점]
1 출제의도 : 핵심 평가 역량
이 문항은 평면도형에서 삼각함수의 성질(코사인법칙)과 원의 성질(중심각과 원주각, 이등변삼각형)을 종합적으로 활용하여 논리적인 추론 과정을 완성하는 능력을 평가합니다.
- 주어진 도형의 조건으로부터 변의 길이와 각의 크기 사이의 관계를 대수적 식(사인/코사인법칙)으로 변환하는 능력
- 이등변삼각형의 성질과 합동 조건을 이용하여 보이지 않는 도형의 성질을 연역적으로 이끌어내는 추론 능력
- 빈칸 추론 형식의 문제에서 앞뒤 논리적 흐름을 파악하고, 필요한 기하학적 정리들을 적재적소에 적용하는 논리 전개 능력
2 상세 풀이 : Step-by-Step
초기 기하 조건 분석 및 삼각형 합동 확인
가장 먼저 두 원의 반지름에 주목해야 합니다. 원 $C_1$ 과 $C_2$ 의 반지름이 모두 $\overline{O_1O_2}$ 로 같습니다. 이를 $r$ 이라고 정의합시다. ($r = \overline{O_1O_2}$)
점 $C$ 는 원 $C_1$ 위에 있으므로 $\overline{O_1C} = r$ 입니다. 따라서 삼각형 $O_1CO_2$ 는 $\overline{O_1C} = \overline{O_1O_2} = r$ 인 이등변삼각형입니다. 이등변삼각형의 두 밑각은 같으므로 $\angle O_1CO_2 = \angle O_1O_2C$ 가 성립합니다.
세 점 $C, O_2, D$ 가 한 직선 위에 있으므로 $\angle CO_2O_1 + \angle O_1O_2D = \pi$ 입니다. 이를 통해 문제에 제시된 각도의 관계식이 자연스럽게 유도됩니다.
더불어, 삼각형 $O_1O_2B$ 와 $O_2O_1D$ 를 비교해보면:
- $\overline{O_1O_2}$ 는 공통변 ($r$)
- $\overline{O_1B} = \overline{O_2D} = r$ (각각 원 $C_1, C_2$ 의 반지름)
- $\angle O_2O_1B = \theta_3 = \angle O_1O_2D$ (문제 조건에서 유도됨)
따라서 SAS 합동에 의해 두 삼각형은 완전히 포개어지며, 결론적으로 $\overline{O_2B} = \overline{O_1D} = 2\sqrt{2}k$ 임을 알 수 있습니다.
(가) $f(k)$ 구하기 : $\overline{AO_2}$ 의 길이 추론
문제에서 $\overline{AB} = k$ 이고, Step 1에 의해 $\overline{BO_2} = 2\sqrt{2}k$ 임을 알았습니다. 점 $A, O_1, O_2$ 가 한 직선 위에 있으므로, 평각의 성질에 의해 $\angle BO_1A = \theta_1$ 이면 $\angle BO_1O_2 = \pi - \theta_1$ 입니다.
두 삼각형 $\triangle AO_1B$ 와 $\triangle BO_1O_2$ 에서 코사인법칙을 각각 적용하여 변수 사이의 관계를 찾습니다. ($\overline{O_1A} = \overline{O_1B} = \overline{O_1O_2} = r$)
[$\triangle AO_1B$ 에서의 코사인법칙]
$$ \overline{AB}^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos\theta_1 \implies k^2 = 2r^2(1 - \cos\theta_1) \quad \cdots \text{①} $$[$\triangle BO_1O_2$ 에서의 코사인법칙]
$$ \overline{BO_2}^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos(\pi - \theta_1) $$ $$ (2\sqrt{2}k)^2 = 2r^2 + 2r^2\cos\theta_1 \implies 8k^2 = 2r^2(1 + \cos\theta_1) \quad \cdots \text{②} $$식 ①과 ②를 더하면 코사인 항이 상쇄되어 $r$ 과 $k$ 의 직접적인 관계식을 얻을 수 있습니다.
구하고자 하는 $\overline{AO_2}$ 는 $A, O_1, O_2$ 가 일직선 상에 있으므로 $\overline{AO_1} + \overline{O_1O_2} = r + r = 2r$ 입니다.
따라서 $\overline{AO_2} = 2 \times \frac{3}{2}k = 3k$ 가 됩니다.
결론적으로 (가) $f(k) = 3k$ 입니다.
(나) $p$ 구하기 : $\cos \frac{\theta_1}{2}$ 계산
이제 커다란 삼각형인 $\triangle AO_2B$ 에 주목합니다. 이 삼각형의 세 변의 길이를 모두 $k$로 표현할 수 있게 되었습니다.
- $\overline{AB} = k$ (조건)
- $\overline{BO_2} = 2\sqrt{2}k$ (Step 1 도출)
- $\overline{AO_2} = 3k$ (Step 2 도출)
각 $\angle BO_2A$ 의 크기는 원 $C_1$ 에 대한 중심각과 원주각의 관계로 파악할 수 있습니다. 호 $AB$ 에 대한 중심각은 $\angle BO_1A = \theta_1$ 이고, 점 $O_2$ 는 원 $C_1$ 위의 점이므로 그 원주각 $\angle BO_2A = \frac{\theta_1}{2}$ 가 됩니다.
세 변의 길이를 알 때 코사인법칙을 적용하여 특정 각의 코사인 값을 구해냅니다.
따라서 (나) $p = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ 입니다.
(다) $g(k)$ 구하기 : 이차방정식 풀이와 기하학적 근 선택
삼각형 $O_2BC$ 에서 선분 $O_2C$ 의 길이를 구해야 합니다.
우선 $\overline{BC}$ 의 길이를 확인해봅시다. 중심각 $\angle CO_1B = \theta_1$ (문제에서 도출)이므로 $\angle BO_1A = \angle CO_1B = \theta_1$ 입니다. 중심각이 같으면 현의 길이도 같으므로 $\overline{BC} = \overline{AB} = k$ 입니다.
또한, 호 $BC$ 에 대한 원주각 $\angle CO_2B = \frac{1}{2}\angle CO_1B = \frac{\theta_1}{2}$ 입니다.
$\triangle O_2BC$ 에 코사인법칙을 적용하여 $\overline{O_2C} = x$ 라 두고 방정식을 세웁니다.
방정식의 해는 $x = \frac{7}{3}k$ 또는 $x = 3k$ 두 가지가 나옵니다. 여기서 기하학적 조건을 통해 올바른 해를 선택해야 합니다.
만약 $x = \overline{O_2C} = 3k$ 라면, $\overline{O_2C} = 2r$ 이 됩니다. 이는 선분 $O_2C$ 가 원 $C_1$ 의 지름임을 의미하며, 중심 $O_1$ 이 선분 $O_2C$ 위에 존재해야 함($C, O_1, O_2$ 일직선)을 뜻합니다. 하지만 주어진 조건에서 $C, O_2, D$ 가 일직선이고 $\angle O_2O_1C = \theta_2 > 0$ 이므로 모순이 발생합니다.
따라서 $x = \frac{7}{3}k$ 가 정답이며, (다) $g(k) = \frac{7}{3}k$ 입니다.
최종 식의 값 계산
구해낸 함수식에 값 $p$ 를 대입하여 최종 정답을 도출합니다.
$$ f(p) = 3 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2} $$ $$ g(p) = \frac{7}{3} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{14\sqrt{2}}{9} $$
$$ \therefore f(p) \times g(p) = 2\sqrt{2} \times \frac{14\sqrt{2}}{9} = \frac{56}{9} $$
정답 : ② $\frac{56}{9}$
3 이론 매칭
4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정
흔히 범하는 오개념 : 코사인법칙 이차방정식 해의 '무조건적인' 선택
-
오류 : $(3x - 7k)(x - 3k) = 0$ 에서 큰 값이 길어 보인다고 $x = 3k$ 를 선택하는 경우
두 변의 길이와 '끼인각이 아닌 각'이 주어졌을 때 사인법칙이나 코사인법칙을 사용하면 해가 2개 나오는 경우가 존재합니다. 이는 기하학적으로 원과 직선이 두 점에서 만나는 모호한 경우(Ambiguous Case of SSA)에 해당합니다. 대수적으로 양수인 두 해가 나왔을 때 눈대중으로 선택하면 치명적인 오답으로 이어집니다.
올바른 접근법 : 기하학적 정황 증거를 활용한 모순 증명
$x = 3k$ 라고 가정하면 $\overline{O_2C} = 2r$ 이 되어 원의 지름이 됩니다. 이 경우 점 $C$ 의 위치가 점 $A$ 와 선대칭 위치로 강제 이동하여 $\angle O_2O_1C = \pi$ 가 되어버려 문제의 $\theta_2$ 조건과 충돌합니다. 따라서 논리적으로 $x = \frac{7}{3}k$ 만이 유일한 해가 됩니다.
5 핵심 이론 증명 : 코사인법칙의 기하학적 유도
본 문항 풀이의 가장 핵심적인 도구인 제2 코사인법칙은 좌표평면과 피타고라스의 정리를 이용해 명쾌하게 증명할 수 있습니다.
$\triangle ABC$ 의 세 변의 길이를 각각 $a, b, c$ 라 하고 그 대각의 크기를 $A, B, C$ 라 할 때, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ 가 성립한다.
좌표를 이용한 증명 :
- 점 $C$ 를 원점 $(0,0)$ 으로 하고, 직선 $CB$ 를 $x$축 양의 방향으로 놓습니다. 점 $B$ 의 좌표는 $(a, 0)$ 이 됩니다.
- 점 $A$ 는 원점 $C$ 에서 거리가 $b$ 이고 $x$축과 이루는 각이 $C$ 인 위치에 있으므로, 극좌표계를 직교좌표계로 변환하면 점 $A$ 의 좌표는 $(b \cos C, b \sin C)$ 가 됩니다.
- 변 $c$ 의 길이는 선분 $AB$ 의 길이이므로 두 점 사이의 거리 공식을 사용합니다.
$$ c^2 = (b \cos C - a)^2 + (b \sin C - 0)^2 $$
- 식을 전개합니다.
$$ c^2 = (b^2 \cos^2 C - 2ab \cos C + a^2) + b^2 \sin^2 C $$ $$ c^2 = b^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + a^2 - 2ab \cos C $$
- 삼각함수의 기본 성질 $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ 을 적용하면 최종 공식이 유도됩니다.
$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $$
기하학적 도형 시뮬레이터
■ $\theta_1$ 각도에 따른 도형의 변화 관찰
아래 슬라이더를 통해 각도 $\theta_1 (\angle BO_1A)$ 의 크기를 변경해 보세요. 수능 기출문제는 정확히 $\cos\theta_1 = \frac{7}{9}$ (약 $38.9^\circ$) 일 때의 상황($\overline{AB} : \overline{O_1D} = 1 : 2\sqrt{2}$)을 고정하여 출제되었습니다. 동적인 변화 속에서도 이등변삼각형의 성질과 합동 조건이 항상 유지됨을 확인할 수 있습니다.