2022학년도 수능 수학 공통 18번 해설 : 2022CSAT

수능 출제 분석

수열의 합 기호의 성질과 대수적 논리 추론

Q 문제 원문

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여

\sum\limits_{k=1}^{10} a_k - \sum\limits_{k=1}^{7} \frac{a_k}{2} = 56, \quad \sum\limits_{k=1}^{10} 2a_k - \sum\limits_{k=1}^{8} a_k = 100

일 때, $a_8$ 의 값을 구하시오. [3점]

① 10

② 11

③ 12

④ 13

⑤ 14

1 출제의도 | 핵심 평가 역량

이 문항은 수열의 합 기호(시그마)가 가지는 선형적 성질을 정확히 이해하고, 식을 연립하여 특정 항의 값을 대수적으로 도출해내는 능력을 평가합니다.

시그마($\sum$) 기호 내부의 상수를 밖으로 분리하거나 분배할 수 있는 선형성(상수배, 덧셈/뺄셈) 적용 능력
복잡하게 나열된 수열의 합을 부분합 기호($S_n$)로 치환하여 식을 직관적이고 다루기 쉽게 단순화하는 능력
두 부분합의 차이($S_n - S_{n-1}$)가 수열의 일반항($a_n$)을 나타냄을 파악하고 이를 연립방정식에 적용하는 추론 능력

2 상세 풀이 | Step-by-Step

Step 1

부분합 기호 $S_n$ 도입 및 첫 번째 식 단순화

문제에 주어진 시그마 식을 다루기 쉽게 만들기 위해, 수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n = \sum\limits_{k=1}^{n} a_k$ 라고 정의합니다.

\sum\limits_{k=1}^{10} a_k - \sum\limits_{k=1}^{7} \frac{a_k}{2} = 56

시그마의 성질 중 상수배 성질에 의해 $\sum\limits_{k=1}^{7} \frac{a_k}{2} = \frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^{7} a_k$ 로 변형할 수 있습니다. 이를 $S_n$ 기호로 치환하면 첫 번째 조건식은 다음과 같이 간단하게 정리됩니다.

S_{10} - \frac{1}{2}S_7 = 56 \quad \cdots \text{①}

[참고도 1 : 첫 번째 조건식의 직관적 분할 시각화]

Step 2

두 번째 조건식 변형

두 번째 조건식 역시 시그마의 상수배 성질을 적용하여 식을 분리하고 단순화합니다.

\sum\limits_{k=1}^{10} 2a_k - \sum\limits_{k=1}^{8} a_k = 100 $$ $$ 2\sum\limits_{k=1}^{10} a_k - \sum\limits_{k=1}^{8} a_k = 100

마찬가지로 $S_n$ 기호를 사용하여 표현하면 식을 직관적인 대수 형태로 바꿀 수 있습니다.

2S_{10} - S_8 = 100 \quad \cdots \text{②}

[참고도 2 : 두 번째 조건식의 직관적 분할 시각화]

Step 3

연립방정식을 통한 $a_8$ 값 도출

우리가 최종적으로 구하고자 단 하나의 값은 $a_8$ 입니다. 수열의 합과 일반항의 관계에 의해 $a_8 = S_8 - S_7$ 임을 반드시 기억해야 합니다.

이를 도출하기 위해 식 ①의 양변에 2를 곱하여, 식 ②와 공통항($2S_{10}$)을 만들어 줍니다.

2S_{10} - S_7 = 112 \quad \cdots \text{③}

이제 식 ③에서 식 ②를 변끼리 빼어 $2S_{10}$ 항을 소거합니다.

(2S_{10} - S_7) - (2S_{10} - S_8) = 112 - 100 $$ $$ S_8 - S_7 = 12

수열의 합의 정의에 따라 제1항부터 8항까지의 합에서 제1항부터 7항까지의 합을 빼면 제8항만 남게 되므로, 결과적으로 $a_8 = 12$ 가 깔끔하게 도출됩니다.

[참고도 3 : 두 식의 차이를 이용한 일반항 도출 원리]

정답 | ③ 12

3 이론 매칭

합의 기호 $\sum$ 의 성질 (상수배) 합의 기호 $\sum$ 의 성질 (덧셈과 뺄셈) 수열의 합과 일반항 사이의 관계 연립일차방정식

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

흔히 범하는 오개념 분석

오류 : 시그마 내부의 분수를 분배하려는 착각

학생들 중 일부는 $\sum \frac{a_k}{2}$ 의 식을 $\frac{\sum a_k}{\sum 2}$ 와 같이 분자와 분모를 분리하여 계산하려는 치명적인 오류를 범합니다. 시그마 기호는 덧셈과 뺄셈에 대해서만 분배법칙이 성립하며, 나눗셈이나 곱셈에 대해서는 결코 분배할 수 없습니다.

올바른 논리 전개 : 상수배 성질의 활용 식 $\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{a_k}{2}$ 는 수열의 모든 항이 $\frac{1}{2}$ 배 되어 더해진다는 의미입니다.
이를 덧셈 기호로 풀어 쓰면 $\frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2} + \cdots + \frac{a_n}{2}$ 가 됩니다.
분배법칙을 이용하여 공통인수 $\frac{1}{2}$ 로 묶어내면 자연스럽게 $\frac{1}{2} (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)$ 이 되며, 이는 곧 $\frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^{n} a_k$ 와 완벽히 일치합니다.
오류 : 부분합의 차이를 잘못된 항 번호로 연결하는 실수

$S_8 - S_7$ 을 계산하고 무의식적으로 $a_7$ 이나 혹은 $a_9$ 로 착각하여 오답을 적어내는 경우가 상당히 많습니다. $S_n$ 기호의 정의를 차분히 되새기면, 1항부터 8항까지의 합에서 1항부터 7항까지의 합을 도려내므로 남는 것은 오직 제8항인 $a_8$ 뿐임을 명확히 인지할 수 있습니다.

5 핵심 이론 증명 | 수열의 합과 일반항의 관계

이 문제를 단숨에 해결할 수 있게 해주는 핵심 무기인 '수열의 합과 일반항 사이의 관계'는 부분합의 정의로부터 아주 명쾌하게 유도됩니다.

[정리] 수열의 합과 일반항의 관계

수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 할 때, 다음 관계식이 항상 성립한다.

a_n = S_n - S_{n-1} \quad (단, n \ge 2) $$ $$ a_1 = S_1 \quad (n = 1 일 때)

논리적 증명 과정 :

$S_n$ 은 제1항부터 제$n$항까지의 합을 의미하므로, 다음과 같이 덧셈으로 전개할 수 있습니다.
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} + a_n$
같은 논리로 $S_{n-1}$ 은 제1항부터 제$n-1$항까지의 합이므로 다음과 같습니다. (여기서 $n$ 은 최소 2 이상이어야 $S_1$ 이 존재합니다.)
$S_{n-1} = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1}$
이제 위에서 세운 두 식을 변끼리 과감하게 빼줍니다. $\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_n \\ -) \quad S_{n-1} &= a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} \\ \hline S_n - S_{n-1} &= a_n \end{aligned}$
우변에서 $a_1$ 부터 $a_{n-1}$ 까지 겹치는 모든 항이 완벽하게 소거되고, 오직 마지막 항인 $a_n$ 만 살아남게 됨을 시각적으로 확인할 수 있습니다. $n=1$ 일 때는 $S_0$ 이라는 기호가 수학적으로 정의되지 않으므로, 첫째항은 부분합의 정의 그대로 $S_1 = a_1$ 로 약속하여 따로 분리합니다.

대수적 불변성 시각화 시뮬레이터

i $S_7$ 변화에 따른 수열의 합 연동 관찰

문제에서 $S_7$ 의 값 자체는 특정되지 않았지만, 슬라이더를 움직여 임의의 $S_7$ 값을 부여해 보세요. 주어진 두 개의 선형 방정식에 의해 $S_{10}$ 과 $S_8$ 의 값이 자동으로 연동되어 변화합니다. 흥미로운 점은, 부분합 막대의 길이가 제아무리 요동쳐도 $a_8$ 이 차지하는 구간의 길이는 항상 12로 굳건하게 유지된다는 대수적 불변성을 아래 1차원 수직선(x축) 위에서 직접 눈으로 확인할 수 있습니다.

$S_7$ 부분합 크기 조절 S₇ = 24.0

연동된 S₁₀ 값

연동된 S₈ 값

불변하는 일반항 ($a_8 = S_8 - S_7$)

12.0

1차원 좌표평면 (수직선 뷰)